Question

calcule a derivada da função f(x)= 8^(-3) * x^-2/3

Answer 1

Vamos lá.

Pede-se a derivada da função abaixo:

f(x) = 8⁻³ * x⁻²/³

Veja: a derivada de um produto da forma: f(x) = u*v é dada por:

f⁻¹(x) = u' * v + u * v' .

Veja: na função f(x) = 8⁻³ * x⁻²/³ , temos que u = 8⁻³; e v = x⁻²/³ .

Então, tomando-se a função f(x) = 8⁻³ * x⁻²/³, teremos, utilizando-se a fórmula u/v = u*v + u*v' . Assim:

f⁻¹(x) = 0*x⁻²/³ + 8⁻³ * (-2/3)*x⁻²/³ ⁻ ¹
f⁻¹(x) = 0 + 8⁻³ * (-2/3)*x⁻⁵/³ --- ou apenas:
f⁻¹(x) = 8⁻³ * (-2/3)*x⁻⁵/³ ---- ou, o que é a mesma coisa:
f⁻¹(x) = [8⁻³ * (-2)*x⁻⁵/³]/3 <---- A resposta poderia ser apresentada desta forma.

Mas se você quiser continuar, basta saber que: 8⁻³ = 1/8³ = 1/512. Assim:

f⁻¹(x) = [1/512*(-2)x⁻⁵/³]/3 --- ou, que é ainda a mesma coisa:
f⁻¹(x) = [1*(-2)*x⁻⁵/³]/3*512
f⁻¹(x) =[-2x⁻⁵/³]/1.536 ---- dividindo-se numerador e denominador por "2", teremos:

f⁻¹(x) = (-x⁻⁵/³)/768 ----- Ou ainda, sabendo que x⁻⁵/³ = 1 / x⁵/³, ficaríamos:

f⁻¹(x) = -1 / 768x⁵/³  ,--- A resposta também poderia ser expressa desta forma.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

Ok?
Adjemir.