Question

Calcule a derivada da função abaixo usando as regras de derivação e marque a alternativa que mais se aproxima do seu resultado.

Answer 1

Vamos relembrar de algumas propriedades de derivação

1) Derivada do monômio

$\fbox{\displaystyle [a.x^n]'= a.n.x^{(n-1)} }$

com $a \neq 0$

2) Regra da cadeia

$\fbox{\displaystyle [f(u)]' = f'(u).u' }$

(Sendo "u" é uma função )

3) Derivada da função Cosseno

$\fbox{\displaystyle [Cos(u)]' = -Sen(u).u' }$

Sendo "u" uma função.

4) Derivada da Ln ( logaritmo natural )

$\fbox{\displaystyle [Ln(u)]' = \frac{1}{u}. u' }$

Sendo "u" uma função.

Sabendo disso, vamos para questão.

A questão nos pede a derivada da seguinte função

$\fbox{\displaystyle f(x) = Cos(x^2+Ln(x^3)) \ \ |\ para \ {\displaystyle x = \frac{\pi}{3}} }$

vamos derivar. Note que dentro do ângulo do cosseno temos duas funções.. então vamos usar a regra da cadeia.

$\fbox{\displaystyle f'(x) = [Cos(x^2+Ln(x^3))]' \to f'(x) = -Sen(x^2 + Ln(x^3)).[x^2 + Ln(x^3)]' }$

Perceba que apliquei a regra da cadeia.

$\fbox{\displaystyle f'(x) = -Sen(x^2 + Ln(x^3)).[[x^2]' + [Ln(x^3)]'] }$

vamos fazer as derivada aqui e depois só substituir3

$[x^2]' = 2x$

$\displaystyle [Ln(x^3)]' = \frac{1}{x^3}.[x^3]' \to [Ln(x^3)]' = \frac{3.x^2}{x^3} \to [Ln(x^3)]' = \frac{3}{x}$

substituindo as respectivas derivadas :

$\fbox{\displaystyle f'(x) = -Sen(x^2 + Ln(x^3)).[2x + \frac{3}{x}] }$

com a ajuda de uma calculadora, vamos calcular $\fbox{\displaystyle x = \frac{\pi}{3} }$

Cuidado com o seguinte - Quando se trata de ângulo $\fbox{\displaystyle \pi = 180^{\circ^} }$, mas não se tratando de ângulo $\fbox{\displaystyle \pi \approx 3,14 }$.

$\fbox{\displaystyle f'(x) = -Sen((\frac{\pi}{3})^2 + Ln((\frac{\pi}{3})^3)).[2.\pi + \frac{3}{\frac{\pi }{3}}] }$

no ângulo - sendo $\frac{\pi}{3} = 60^{\circ}$

fora do ângulo - sendo $\pi \approx 3,14$

temos :

$\fbox{\displaystyle f'(x) = -0,944.4,95 \to f'(x) \approx -4,67 }$

letra b