Question

Calcule a derivada através da definição de limite $\lim_{h \to \ 0 } \frac{f (x_1 + h) - f (x_1) }{h}$

$f(x) \frac{1}{x+2}$

Grato!

Answer 1

Olá


Derivada por definição


$\displaystyle\boxed{\mathsf{ \ell im_{h \to 0} ~ \frac{f(x+h)-f(x)}{h} }}\\\\\\\mathsf{ f(x)=\frac{1}{x+2} }$


$\displaystyle \mathsf{ \ell im_{h \to 0} ~ \frac{ \frac{1}{x+2+h} - \frac{1}{x+2} }{h} }$


Calcula o MMC entre as frações 


$\displaystyle \mathsf{ \ell im_{h \to 0} ~ \frac{ \frac{(x+2)-(x+2+h)}{(x+2+h)\cdot(x+2)} }{h} }\\\\\\\mathsf{ \ell im_{h \to 0} ~ \frac{ \frac{\diagup\!\!\!\!x+\diagup\!\!\!\!2-\diagup\!\!\!\!x-\diagup\!\!\!\!2-h}{(x+2+h)\cdot(x+2)} }{h} }\\\\\\\mathsf{ \ell im_{h \to 0} ~ \frac{ \frac{-h}{(x+2+h)\cdot(x+2)} }{h} }$


Divisão de Frações, multiplica a primeira pelo inverso da segunda.


$\displaystyle \mathsf{ \ell im_{h \to 0} ~ \frac{ -\diagup\!\!\!\!h }{(x+2+h)\cdot(x+2)} \cdot \frac{1}{\diagup\!\!\!\!h} }\\\\\\\mathsf{ \ell im_{h \to 0} ~ \frac{ -1 }{(x+2+h)\cdot(x+2)}}$


Substituindo, quando 'h' tende a '0'


$\displaystyle \mathsf{ \ell im_{h \to 0} ~ \frac{ -1 }{(x+2+0)\cdot(x+2)}~=~ \frac{-1}{(x+2)\cdot (x+2)} }$


Sabemos que:

$\mathsf{(x+a)\cdot(x+a)=(x+a)^2}$



Então podemos concluir que...


$\displaystyle \mathsf{ \ell im_{h \to 0} ~ \frac{ \frac{1}{x+2+h} - \frac{1}{x+2} }{h} ~=~\boxed{\mathsf{- \frac{1}{(x+2)^2} }}}$






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$\mathsf{AvengerCrawl\left(\smile \!\!\!\!\!\!\!^{'~'}\right)}$