Question

Calcule a derivada abaixo utilizando a regra da cadeia

a) g(z) = 1/(z^4 + 1)^3 ; calcule ∂g/ ∂z

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\dfrac{dg}{dz}=\dfrac{-12z^3}{(z^4+1)^4}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Seja a função: $g(z)=\dfrac{1}{(z^4+1)^3}$, devemos calcular $\dfrac{dg}{dz}$ utilizando a regra da cadeia.

Primeiro, lembre-se que a derivada do inverso de uma função é dada pela regra do quociente: $\left(\dfrac{1}{f(x)}\right)'=-\dfrac{f'(x)}{f(x)^2}$.

Assim, teremos:

$\dfrac{dg}{dz}=\dfrac{[-(z^4+1)^3]'}{((z^4+1)^3)^2}$

Aplique a propriedade de potência de potência: $(a^{m})^n=a^{m\cdot n}$.

$\dfrac{dg}{dz}=\dfrac{-[(z^4+1)^3]'}{(z^4+1)^6}$

Então, para calcularmos a derivada, utilizamos a regra da cadeia.

Lembre-se que:

• A derivada de uma função composta é dada por: $(h(f(x)))'=f'(x)\cdot h'(f(x))$.
• A derivada de uma potência é dada por: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.
• A derivada de uma soma de funções é igual a soma das derivadas das funções.
• A derivada de uma constante é igual a zero.

Assim, considere $h(x)=x^3$ e $f(x)=z^4+1$. A derivada pela regra da cadeia será:

$\dfrac{dg}{dz}=\dfrac{-(z^4+1)'\cdot 3\cdot(z^4+1)^2}{(z^4+1)^6}$

Aplique a regra da soma e a propriedade de divisão de potências de mesma base

$\dfrac{dg}{dz}=\dfrac{-3\cdot((z^4)'+(1)')}{(z^4+1)^4}$

Calcule a derivada da potência e da constante

$\dfrac{dg}{dz}=\dfrac{-3\cdot(4z^3+0)}{(z^4+1)^4}$

Multiplique os valores

$\dfrac{dg}{dz}=\dfrac{-12z^3}{(z^4+1)^4}$

Esta é a derivada desta função.