Question

Calcule a coordenada x dos pontos A (x,
–1) e do ponto B (x, 2) sabendo que as
coordenadas do ponto C são (4, 2), e que a área do triângulo formado por eles é igual a
4 u.a.

Answer 1

Vamos là.

x  -1    1    x   -1

x   2   1   x    2

4  2   1    4   2

determinante

det = 2x + 4 + 2x - 8 - 2x + x = -8

3x - 4 = -8

3x = -4

x = -4/3

A(-4/3, -1), B(-4/3, 2), C(4, 2)

Answer 2

✅ Após ter realizado todos os devidos cálculos chegamos à conclusão que os possíveis valores para a coordenada "x" pertencem ao seguinte conjunto solução:

              $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}S_{o} = \Big\{\frac{4}{3}, \frac{20}{3} \Big\} \end{gathered} }$            

 

Sabemos que a área "S" de um triângulo determinado por três pontos que formam seus vértices é a metade do módulo do determinante da matriz "M" formada pelas coordenadas dos respectivos pontos, ou seja:

1ª       $\large\displaystyle\begin{gathered}S = \frac{|Det(M)|}{2} \end{gathered}$

Se os pontos fornecidos são:

              $\large\begin{cases}A(x, -1)\\B(x, 2)\\C(4, 2) \end{cases}$

Se a matriz "M" for:

   $\large\displaystyle\begin{gathered}M = \left[\begin{array}{ccc}X_{A}&Y_{A}&1\\X_{B}&Y_{B}&1\\X_{C}&Y_{C}&1\end{array}\right] \end{gathered}$

         $\large\displaystyle\begin{gathered}= \left[\begin{array}{ccc}x&-1&1\\x&2&1\\4&2&1\end{array}\right] \end{gathered}$    

Calculando o determinante da matriz "M", temos:

$\large\displaystyle\begin{gathered}Det(M) = D \end{gathered}$

$\large\displaystyle\begin{gathered}D = x\cdot2\cdot1 + (-1)\cdot1\cdot4+ 1\cdot x\cdot2 - (-1)\cdot x\cdot1 - x\cdot1\cdot2 - 1\cdot2\cdot4 \end{gathered}$  

    $\large\displaystyle\begin{gathered}= \!\diagup\!\!\!\!\!\!2x - 4 + 2x + x - \!\diagup\!\!\!\!\!\!2x - 8 \end{gathered}$

    $\large\displaystyle\begin{gathered}= 3x - 12 \end{gathered}$

Portanto:

          $\large\displaystyle\begin{gathered}Det(M) = 3x - 12 \end{gathered}$

            

Se S = 4 e invertendo os membro da 1ª equação para facilitar os cálculos, temos:

                    $\large\displaystyle\begin{gathered}\frac{|3x - 12|}{2} = 4 \end{gathered}$

                     $\large\displaystyle\begin{gathered}|3x - 12| = 8 \end{gathered}$

                   $\large\displaystyle\begin{gathered}(3x - 12)^{2} = 8^{2} \end{gathered}$

        $\large\displaystyle\begin{gathered}9x^{2} - 72x + 144 = 64 \end{gathered}$

$\large\displaystyle\begin{gathered}9x^{2} - 72x + 144 - 64 = 0 \end{gathered}$

           $\large\displaystyle\begin{gathered}9x^{2} - 72x + 80 = 0 \end{gathered}$

calculando o valor do delta, temos:

           $\large\displaystyle\begin{gathered}\Delta = b^{2} - 4\cdot a\cdot c \end{gathered}$

                $\large\displaystyle\begin{gathered}= (-72)^{2} - 4\cdot9\cdot80 \end{gathered}$

                $\large\displaystyle\begin{gathered}= 5184 - 2880 \end{gathered}$

               $\large\displaystyle\begin{gathered}= 2304 \end{gathered}$

Aplicando a fórmula de Bhaskara, temos:

          $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}x = \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2\cdot a} \end{gathered} }$

              $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}= \frac{-(-72)\pm\sqrt{2304}}{2\cdot9} \end{gathered} }$

              $\large\displaystyle\begin{gathered}= \frac{72\pm48}{18} \end{gathered}$

Obtendo as raízes temos:

   $\Large\begin{cases}x' = \frac{72 - 48}{18} = \frac{24}{18} = \frac{4}{3}\\x'' = \frac{72 + 48}{18} = \frac{120}{18} = \frac{20}{3} \end{cases}$

✅ Portanto, os possíveis valores para "x" pertencem ao seguinte conjunto solução:

              $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}S_{o} = \Big\{\frac{4}{3}, \frac{20}{3} \Big\} \end{gathered} }$      

✅ Desta forma, temos duas possibilidades para a formação do triângulo:

• Primeiro triângulo:

        $\Large\begin{cases}A' = \Big(\frac{4}{3} , -1\Big)\\B' = \Big(\frac{4}{3} , 2\Big)\\C' = (4, 2) \end{cases}$

   

• Segundo triângulo:

         $\Large\begin{cases}A'' = \Big(\frac{20}{3} , -1\Big)\\B'' = \Big(\frac{20}{3} , 2\Big)\\C'' = (4, 2) \end{cases}$

Saiba mais:

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Veja também a solução gráfica da questão: