Question

Calcule a coordenada x do ponto A = (x,1) e do ponto B (x,2) sabendo que as coordenadas do ponto C são (4,2), que eles não são colineares e que a área do triângulo formado por eles é igual a 4.

a)10 ou -2
b)10
c)12
d)-4
e)12 ou -4​

Answer 1

Olá, bom dia ◉‿◉.

Para calcular a área de um triângulo através dos vértices, devemos montar uma matriz (3x3)e após isso calcular o seu determinante.

A estrutura dessa matriz é dada por:

$\begin{bmatrix} \sf \: xa& \sf \:ya& \sf1\\ \sf \: xb& \sf \:yb& \sf1 \\ \sf xc& \sf \: yc& \sf1\end{bmatrix}$

Os elementos xa, ya, xb... representam os valores das abscissas e ordenadas dos três pontos. Vamos organizar tais dados para facilitar a substituição no determinante.

$\begin{cases}A (x,1) \rightarrow xa = x \: \: \: \: ya = 1 \\ B (x,2) \rightarrow xb = x \: \: \: \: yb = 2\\ C(4,2) \rightarrow xc= 4 \: \: \: \: yc = 2\end{cases}$

Agora vamos substituir e calcular. Para isso você deve escolher o método que seja mais conveniente para você, no meu caso usarei o método de Sarrus:

$\begin{bmatrix} \sf \: x& \sf \:1& \sf1\\ \sf \: x& \sf \:2& \sf1\\ \sf 4& \sf \: 2& \sf1\end{bmatrix}. \begin{bmatrix} \sf \: x& \sf \:1\\ \sf \: x& \sf \:2\\ \sf 4& \sf \: 2\end{bmatrix} \\ \\ \sf D = \: x.2.1 + 1.1.4 + 1.x.2 - (4.2.1 + 2.1.x + 1.x.1) \\ \sf D = 2x + 4 + 2x - (8 + 2x + x) \\\sf D = 4x + 4 - (8 + 3x) \\ \sf D = 4x + 4 - 8 - 3x \\ \boxed{ \sf D = \: x - 4}$

Para finalizar, devemos substituir esse valor na fórmula da área de uma triângulo em geometria analítica, que é dada por:

$\boxed{ \sf \: A = \frac{ |D| }{2} }$

A questão fala que a área "A" é igual a "4", então vamos substituir também esse dado na fórmula.

$\sf4 = \frac{ |x - 4| }{2} \\ \\ \sf 4.2 = |x - 4| \\ \\ \sf 8 = |x - 4|$

Chegando aqui, devemos aplicar a propriedade de módulo:

$\boxed{ \sf |A| = B \: \: ou \: \: | A| = - B }$

Para |A| = B:

$\sf8 = |x - 4| \\ \sf x - 4 = 8 \\ \sf x = 8 + 4 \\ \boxed{ \sf \: x = 12}$

Para |A| = -B:

$\sf - 8 = |x - 4| \\ \sf x - 4 = - 8 \\ \sf \: x = - 8 + 4 \\ \boxed{ \sf \: x = - 4}$

Portanto temos que a resposta é:

Letra e).

Espero ter ajudado

Bons estudos ♥️