Question

Calcule a constante b para que a reta y + 9x + b = 0 seja tangente à curva y = x(elevado à -1)?

Answer 1

Olá, boa tarde.

Devemos determinar a constante $b$ de modo que a reta $y+9x+b=0$ seja tangente à curva $y=x^{-1}$.

Primeiro, isolamos $y$ para determinarmos a equação reduzida da reta:

$y=-9x-b$

Reescreva a equação como o seguinte produto:

$y=-9\cdot\left(x+\dfrac{b}{9}\right)~\bold{(I)}$

Então, devemos determinar a equação da reta tangente à curva.

Antes, considere um ponto $(x_0,~y_0)$ pertencente ao domínio da função $y=f(x)$, contínua e derivável neste ponto. A equação da reta tangente à curva neste ponto é dada por: $y-y_0=f'(x_0)\cdot(x-x_0)$.

Calculamos o ponto $y_0$:

$y_0=(x_0)^{-1}\\\\\\ y_0=\dfrac{1}{x_0}$

Assim, calculamos a derivada da função:

$(y)'=(x^{-1})'$

Aplique as regras da cadeia e da potência: $(y)'=1\cdot y^{1-1}\cdot y'=y'$ e $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$

$y'=(-1)\cdot x^{-1-1}\\\\\\ y'=-x^{-2}\\\\\\ y'=-\dfrac{1}{x^2}$

Calcule a derivada da função neste ponto:

$y'=-\dfrac{1}{{x_0}^2}$

Por fim, substitua estes dados na fórmula da equação da reta tangente

$y-\dfrac{1}{x_0}=-\dfrac{1}{{x_0}^2}\cdot(x-x_0)$

Some $\dfrac{1}{x_0}$ em ambos os lados da equação e reescreva o produto

$y=-\dfrac{1}{{x_0}^2}\cdot(x-2x_0)~\bold{(II)}$.

Por fim, iguale as equações $\bold{(I)}$ e $\bold{(II)}$

$-9\cdot\left(x+\dfrac{b}{9}\right)=-\dfrac{1}{{x_0}^2}\cdot(x-2x_0)$

Igualando os termos correspondentes, obtemos:

$\begin{cases}-\dfrac{1}{{x_0}^2}=-9\\\\ \dfrac{b}{9}=-2x_0\\\end{cases}$

Resolvendo a primeira equação, facilmente teremos:

$-\dfrac{1}{{x_0}^2}=-9\\\\\\ \dfrac{1}{{x_0}^2}=9\\\\\\ {x_0}^2=\dfrac{1}{9}\\\\\\ x_0=\sqrt{\dfrac{1}{9}}\\\\\\ x_0=\dfrac{1}{3}$

Substituindo este dado na segunda equação, teremos:

$\dfrac{b}{9}=-2\cdot\dfrac{1}{3}\\\\\\ b=9\cdot\left(-\dfrac{2}{3}\right)\\\\\\ b=-6~~\checkmark$

Este é o valor do coeficiente que buscávamos.