Question

Calcule a área total pintada de azul.

com cálculo

Answer 1

$P(x) = x^{3} + 6x^{2} + 7x +2$Resposta e explicação passo a passo:

a) Para determinar o perímetro do retângulo $BDFH$, basta somar as medidas dos catetos dos triângulos que estão em azul. Assim, temos

$P = 4\times (2x+1) + 4\times (x) = 8x + 4 + 4x = 12x + 4$

b) Observemos que $\overline{AE} = 2x$ e $\overline{GC} = 8x+2$, além disso, a área de um losango é $A = \frac{(\texttt{diagonal maior})\times \texttt{(diagonal menor})}{2} = \frac{2x \times (8x+2)}{2} = 8x^{2}+2x$.

c) Primeiramente, perceba que todos os triângulos são semelhantes (caso LAL), desta forma, para calcular a área total pintada de azul, basta calcular a área de um triângulo e multiplicar por 4. Sendo assim,

$A = 4\times (\texttt{area do triangulo}) = 4\times \frac{x \cdot (2x+1)}{2} = 2 \cdot (2x^{2} + x) = 4x^{2} + 2x$

d) Queremos determinar um polinômio $P(x)$ que quando dividido por $D(x) = x^{2} + 2$, resulta no quociente $Q(x) = x+2$ e resto $R(x) = x-2$. Assim, tendo em vista que

$P(x) = D(x)Q(x) + R(x)$ [divisão de polinômios]

temos

$P(x) = (x^{2}+2)(x+2) + (x-2) = (x^{3}+6x^{2}+12x+4) + (x-2) = x^{3} + 6x^{2} + 7x +2$

O polinômio procurado é

$P(x) = x^{3} + 6x^{2} + 7x +2$