Question

Calcule a área total entre a curva y = 2x – x² e o eixo x, no intervalo de x = 0 até x = 3.

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\dfrac{8}{3}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, bom dia.

Para calcularmos a área total entre a curva e o eixo das abcissas no intervalo desejado, utilizaremos integrais.

Seja a função $f(x)$ contínua em um intervalo $[a,~b]\in\mathbb{R}$. A área entre a curva e o eixo das abcissas é dada pela integral definida: $\displaystyle{\int_a^b f(x)\,dx$.

Assim, devemos calcular a área entre a $y=2x-x^2$ e o eixo no intervalo de $x=0$ até $x=3$.

Porém, ao analisarmos o gráfico da função, vemos que existe uma parte que se encontra abaixo do eixo e isso resultaria em uma área negativa: a integral soma todas as parcelas e subtrai as áreas que estão abaixo do eixo das que estão acima do eixo.

Neste caso, a curva intersecta o eixo no ponto $x=2$ e a área se torna negativa.

Logo, a área total entre esta curva e o eixo neste intervalo será dada pelas integrais:

$\displaystyle{\int_0^2 2x-x^2\,dx-\int_2^32x-x^2\,dx$.

Lembre-se que:

• A integral de uma soma de funções é igual a soma das integrais das funções.
• A integral de uma potência é dada por: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$.
• A integral definida de uma função contínua em um intervalo $[a,~b]$, de acordo com o Teorema fundamental do Cálculo, é dada por: $\displaystyle{\int_a^b f(x)\,dx=F(x)~\biggr|_a^b=F(b)-F(a)$.

Calcule a integral

$x^2-\dfrac{x^3}{3}~\biggr|_0^2-\left(x^2-\dfrac{x^3}{3}\right)~\biggr|_2^3$

Aplique os limites de integração

$2^2-\dfrac{2^3}{3}-\left(0^2-\dfrac{0^3}{3}\right)-\left[3^2-\dfrac{3^3}{3}-\left(2^2-\dfrac{2^3}{3}\right)\right]$

Calcule as potências e efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$4-\dfrac{8}{3}+4-\dfrac{8}{3}$

Some os valores

$\dfrac{8}{3}$

Esta é a área total entre a curva e o eixo das abcissas.