Question

calcule a área total e o volume de um cone equilátero, sabendo que a área lateral é igual a 24 pi cm²

Answer 1

Uma vez que temos um cone equilátero, temos a seguinte propriedade: a geratriz possui o dobro da dimensão do raio, ou seja:

$g=2r$

Isso ocorre pois, num cone equilátero, podemos cortá-lo ao meio e formar um triângulo retângulo.

Como temos a área lateral e a relação entre geratriz e raio, podemos utilizar a seguinte equação para determinar o raio:

$A_{lat} =\pi rg$

Substituindo os dados, temos:

$24\pi = \pi * r*2r\\ \\ 24=2r^{2}\\ \\ r^{2}=12\\ \\ r=2\sqrt{3}$

Com o valor do raio, podemos determinar a área da base:

$A_{base} =\pi r^{2}\\ \\ A_{base} =12\pi$

Portanto, a área total será:

$A_{total}= A_{base}+A_{lat}\\ \\ A_{total}=12\pi + 24\pi\\ \\ A_{total}=36\pi$

Agora, vamos determinar o volume. Para isso, precisamos calcular a altura desse cone. Podemos utilizar o Teorema de Pitágoras, uma vez que temos o triângulo retângulo formado entre raio, altura e geratriz.

$g^{2}=r^{2}+h^{2}\\ \\ (2r)^{2}=r^{2}+h^{2}\\ \\ 4r^{2}=r^{2}+h^{2}\\ \\ 3r^{2}=h^{2}\\\\ 3*12 =h^{2} \\ \\ h=\sqrt{36} \\ \\ h=6$

Por fim, o volume do cone será:

$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h\\ \\ V=\frac{1}{3} \pi*12*6\\ \\ V=24\pi$

Portanto, a área total do cone equilátero é 36π cm² e o volume é 24π cm³.