Question

calcule a area total de uma piramide quadrangular em que a altura mede 4 m e o volume 48 m cubicos.

Answer 1

Como temos a altura da pirâmide e seu volume, podemos achar a área de sua base:

$V=48~m^{3}\\\\\\\dfrac{A_{base}\cdot h}{3}=48\\\\\\\dfrac{A_{base}\cdot4}{3}=48\\\\\\A_{base}=\dfrac{48\cdot3}{4}=12\cdot3\\\\\\\boxed{\boxed{A_{base}=36~m^{2}}}$
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Sendo a base da pirâmide um quadrado, vamos achar a aresta da base:

$A_{base}=36~m^{2}\\\\(a_{base})^{2}=36\\\\a_{base}=\sqrt{36}~m\\\\\boxed{\boxed{a_{base}=6~m}}$

É interessante calcularmos o apótema da base:

$m=(a_{p})_{quadrado}=\dfrac{a_{base}}{2}=\dfrac{6}{2}=3~m$

Com isso, podemos traçar um triângulo retângulo cujos catetos medem h (altura da pirâmide), m (apótema da base) e hipotenusa medindo M (apótema da pirâmide)

Logo, pelo Teorema de Pitágoras:

$M^{2}=m^{2}+h^{2}\\\\M^{2}=3^{2}+4^{2}\\\\M^{2}=9+16\\\\M^{2}=25\\\\M=\sqrt{25}~m\\\\\boxed{\boxed{M=5~m}}$

Então, as faces laterais dessa pirâmide são (quatro) triângulos de base igual a 6 m (aresta da base) e altura igual a 5 m (apótema da pirâmide). Portanto, a área lateral da pirâmide será a soma das áreas das 4 faces laterais:

$A_{lateral}=4\cdot\dfrac{a_{base}\cdot M}{2}\\\\\\A_{lateral}=4\cdot\dfrac{6\cdot5}{2}=4\cdot3\cdot5\\\\\\\boxed{\boxed{A_{lateral}=60~m^{2}}}$
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A área total de uma pirâmide é a soma da área da base com a área lateral.

Portanto:

$A_{total}=A_{base}+A_{lateral}\\\\A_{total}=36+60\\\\\boxed{\boxed{A_{total}=96~m^{2}}}$

P.S: Desenhar a pirâmide não é necessário caso consiga visualizá-la em sua mente (não precisei olhar uma pirâmide para visualizar os triângulos retângulos utilizados), mas, se quiser, posso anexar uma imagem com as medidas em questão para facilitar a compreensão!