Question

Calcule a área sob a curva da função f(x) = x2 +1, no intervalo de 0 a 3,
utilizando-se a Soma de Riemann à esquerda, com 12 retângulos
aproximantes.​

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{10.90625}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para calcularmos uma aproximação para a área sob a curva utilizando uma soma de Riemann à esquerda, devemos nos relembrar de algumas propriedades.

Seja a função $f(x)$ integrável em um determinado intervalo fechado $[a,~b]$. A aproximação pela soma de Riemann à esquerda é dada pelo somatório:

$\displaystyle{\sum_{i=0}^{n-1}f(x_i)\cdot\Delta x$, em que $i$ é um valor que varia de $0$ a $n-1$, $n$ é a quantidade de intervalos e $\Delta x$ é a diferença $x_{i+1}-x_i$, medida da base cada retângulo deste intervalo.

Para calcularmos $\Delta x$, utilizamos a fórmula $\Delta x=\dfrac{b-a}{n}$.

Então, seja a função $f(x)=x^2+1$. Devemos encontrar a área sob esta curva no intervalo de $0$ a $3$ com $12$ retângulos aproximantes.

Neste caso, temos $a=0,~b=3$ e $n=12$. Calculamos $\Delta x$:

$\Delta x=\dfrac{3-0}{12}=\dfrac{3}{12}$

Simplifique a fração

$\Delta x=\dfrac{1}{4}$

Então, a soma de Riemann será:

$\displaystyle{\sum_{i=0}^{11}f(x_i)\cdot\dfrac{1}{4}$

Calcule a soma

$\left(0^2+1+\dfrac{1}{4}^2+1+\dfrac{2}{4}^2+1+\dfrac{3}{4}^2+1+\dfrac{4}{4}^2+1+\dfrac{5}{4}^2+1+\dfrac{6}{4}^2+1+\dfrac{7}{4}^2+1$$\left+\dfrac{8}{4}^2+1+\dfrac{9}{4}^2+1+\dfrac{10}{4}^2+1+\dfrac{11}{4}^2+1\right)\cdot\dfrac{1}{4}$

Calcule as potências e simplifique as frações

$\left(1+\dfrac{1}{16}+1+\dfrac{1}{4}+1+\dfrac{9}{16}+1+1+1+\dfrac{25}{16}+1+\dfrac{9}{4}+1+\dfrac{49}{16}+1$$\left+4+1+\dfrac{81}{16}+1+\dfrac{25}{4}+1+\dfrac{121}{16}+1\right)\cdot\dfrac{1}{4}$

Some as frações

$\dfrac{349}{8}\cdot\dfrac{1}{4}$

Multiplique as frações

$\dfrac{349}{32}$

Calculando uma aproximação para o valor desta fração, obtemos

$10.90625$

Esta é a aproximação encontrada utilizando soma de Riemann à esquerda com 12 retângulos.