Question

Calcule a área limitada pelo eixo x e pelo gráfico de –x² +1 .

Answer 1

Boa tarde.


Coloco em anexo o gráfico do problema.


Queremos a área hachurada. Primeiramente, encontramos as interseções de f com o eixo x:

$\mathsf{-x^2+1=0}\\ \\ \mathsf{x^2=1}\ \ \ \mathsf{\therefore \ \ x=\pm1}$ 

Para termos a área, devemos integrar com respeito a x, de -1 a 1, a função f. Logo:

$\mathsf{A=\displaystyle\int_{-1}^1(-x^2+1) \ dx}\\ \\ \\ \mathsf{A = \left(-\dfrac{x^{2+1}}{2+1}+x\right)\bigg |_{-1}^{\ 1}}\\ \\ \\ \mathsf{A = \left(-\dfrac{x^{3}}{3}+x\right)\bigg |_{-1}^{\ 1}}}\\ \\ \\ \mathsf{A=\left(-\dfrac{1}{3}+1\right)-\left(\dfrac{1}{3}-1\right)} \\ \\ \\ \mathsf{A = 2 - \dfrac{2}{3}}\\ \\ \boxed{\mathsf{A = \dfrac{4}{3}}}$

Answer 2

$\displaystyle\mathsf{\int\limits_{-1}^{1}(1-{x}^{2}) dx=2\int\limits_{0}^{1}(1-{x}^{2})dx} \\\mathsf{\left[2x - \dfrac{2}{3} {x}^{3} \right]_{0}^{1} = 2.1 - \frac{2}{3}. {1}^{3} = \frac{4}{3} }$