Question

Calcule a área limitada pela circunferência em uma corda AB de medida igual ao raio da respectiva circunferência

Answer 1

Olá.

 

Para resolver essa questão, devemos pensar em figuras inscritas dentro do círculo.

 

A figura que melhor se adapta para esse caso é aquela que é dividida em ângulos centrais de 60°. Para saber qual é a figura, basta dividir 360° por 60, o resultado será a quantidade de lados da figura.

 

Podemos afirmar que a figura inscrita é um hexágono, com 6 lados. Na imagem em anexo, desenhei um hexágono inscrito dentro da circunferência.

 

Analisando a imagem que está em anexo é possível perceber que na circunferência existem mais 5 áreas iguais a essa laranja, totalizando em 6. Para descobrir a área em laranja, podemos dividir por 6 o resultado da diferença entre a área da circunferência e do hexágono. Algebricamente, teremos:

 

$\mathsf{\left(A_{\bigcirc}+A_{H}\right)\div6}$

 

Para encontrar as áreas das figuras, usamos as seguintes fórmulas:

 

$\mathsf{A_{\bigcirc}=\pi\cdot r^2}\\\\\mathsf{A_{H}=\dfrac{3\cdot r^2\cdot\sqrt3}{2}}$

 

Substituindo essas fórmulas no cálculo a ser feito, teremos:

 

$\mathsf{\left(A_{\bigcirc}+A_{H}\right)\div6=}\\\\ \mathsf{\left(\pi\cdot r^2+\dfrac{3\cdot r^2\cdot\sqrt3}{2}\right)\div6=}\\\\\\ \mathsf{\left(\dfrac{2}{2}\cdot\pi r^2+\dfrac{3r^2\sqrt3}{2}\right)\cdot\dfrac{1}{6}=}\\\\\\ \mathsf{\left(\dfrac{2\pi r^2}{2}+\dfrac{3r^2\sqrt3}{2}\right)\cdot\dfrac{1}{6}=}\\\\\\ \mathsf{\left(\dfrac{2\pi r^2+3r^2\sqrt3}{2}\right)\cdot\dfrac{1}{6}=}$

 

$\mathsf{\dfrac{2\pi r^2+3r^2\sqrt3}{2\cdot6}=}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{r^2\left(2\pi+3\sqrt3\right)}{18}}$

 

Quaisquer dúvidas, deixe nos comentários.

Bons estudos$.$