Question

calcule a area limita entre as curvas y=x²-4 e y=-x²-4

Answer 1

Temos:

$\begin{cases}\mathsf{f(x)=x^{2}-4}\\ \\ \mathsf{g(x)=-x^{2}-4}\end{cases}$

Buscando encontrar a área limite entre estas funções, faremos:

$\mathsf{A_{lim.}=A_{sup.}-A_{inf.}}\\ \\ \\ \mathsf{A_{lim.}=A_{f(x)}-A_{g(x)}}$

Onde:

$\mathsf{A_{lim.}}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\textrm{Area limite}\\ \\ \\ \mathsf{A_{sup.}}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\textrm{Area superior}\\ \\ \\ \mathsf{A_{inf.}}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\textrm{Area inferior}$

Se fizermos a integral destas funções, teremos suas áreas.

$\mathsf{S_{lim.}=\int\limits^a_b{f(x)\,dx}\,-\,\int\limits^a_b{g(x)\,dx}}\\ \\ \\ \mathsf{S_{lim.}= \int\limits^a_b {\big[f(x)-g(x)\big]} \, dx }\\ \\ \\ \mathsf{S_{lim.}=\int\limits^a_b{\big[\big(x^{2}-4\big)-\big(-x^{2}-4\big)\big] \, dx}}\\ \\ \\ \mathsf{S_{lim.}=\int\limits^a_b{\big(x^{2}-4+x^{2}+4\big)\,dx}}\\ \\ \\ \mathsf{S_{lim.}=\int\limits^a_b{2\,x^{2}\,dx}}$

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Como x = 0 é comum as funções e estas são funções par, temos:

$\mathsf{S_{lim.}=2\,\int\limits^\infty_0{2x^{2}\,dx}}\\ \\ \\ \mathsf{S_{lim.}=\int\limits^{\infty}_0{4\,x^{2}\,dx}}$

Chegamos em uma integral imprópria, faremos:

$\mathsf{\int\limits^{\infty}_0{4\,x^{2}\,dx}\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\, \lim_{t \to \infty}\,\,\,\int\limits^t_0{4\,x^{2}\,dx}}$

Resolvendo a integral, temos:

$\mathsf{lim_{t\,\,\to\,\,{\infty}}\,\,\dfrac{4\,x^{3}}{3}\,\,\bigg|\limits^t_0}\\ \\ \\ \mathsf{\lim_{t\,\,\to\,\,{\infty}}\,\,\dfrac{4\,t^{3}}{3}-\dfrac{4\,(0)^{3}}{3}}\\ \\ \\ \mathsf{\lim_{t\,\,\to\,\,{\infty}}\,\,\dfrac{4\,t^{3}}{3}=\boxed{\boxed{\mathsf{\infty}}}}$

Com isso, temos que a área limite entre as funções diverge para o infinito