Question

Calcule a área lateral, a área total e o volume de cada um dos sólidos cujas medidas estão indicadas nas figuras.

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

a)

=> Área lateral

$\sf A_L=2\cdot(ac+bc)$

$\sf A_L=2\cdot(2\cdot2,5+2\cdot2,5)$

$\sf A_L=2\cdot(5+5)$

$\sf A_L=2\cdot10$

$\sf \red{A_L=20~cm^2}$

=> Área da base

$\sf A_b=a^2$

$\sf A_b=2^2$

$\sf A_b=2\cdot2$

$\sf A_b=4~cm^2$

A área total é:

$\sf A_T=2\cdot A_b+A_L$

$\sf A_T=2\cdot4+20$

$\sf A_T=8+20$

$\sf \red{A_T=28~cm^2}$

=> Volume

$\sf Volume=comprimento\cdot largura\cdot altura$

$\sf V=2\cdot2\cdot2,5$

$\sf V=4\cdot2,5$

$\sf \red{V=10~cm^3}$

b)

=> Área lateral

$\sf A_L=4\cdot a^2$

$\sf A_L=4\cdot2,5^2$

$\sf A_L=4\cdot6,25$

$\sf A_L=25~cm^2$

=> Área da base

$\sf A_b=a^2$

$\sf A_b=2,5^2$

$\sf A_b=2,5\cdot2,5$

$\sf A_b=6,25~cm^2$

A área total é:

$\sf A_T=2\cdot A_b+A_L$

$\sf A_T=2\cdot6,25+25$

$\sf A_T=12,5+25$

$\sf \red{A_T=37,5~cm^2}$

=> Volume

$\sf V=a^3$

$\sf V=2,5^3$

$\sf V=2,5\cdot2,5\cdot2,5$

$\sf \red{V=15,625~cm^3}$

c)

=> Área lateral

• Seja p a altura dos triângulos, faces laterais dessa pirâmide

Pelo Teorema de Pitágoras:

$\sf p^2+\Big(\dfrac{4}{2}\Big)^2=10^2$

$\sf p^2+2^2=10^2$

$\sf p^2+4=100$

$\sf p^2=100-4$

$\sf p^2=96$

$\sf p=\sqrt{96}$

$\sf p=4\sqrt{6}~cm$

A área lateral é:

$\sf A_L=6\cdot\dfrac{4\cdot4\sqrt{6}}{2}$

$\sf A_L=6\cdot\dfrac{16\sqrt{6}}{2}$

$\sf A_L=6\cdot8\sqrt{6}$

$\sf \red{A_L=48\sqrt{6}~cm^2}$

=> Área da base

A área de um hexágono regular de lado L é dada por:

$\sf A=\dfrac{3\cdot L^2\cdot\sqrt{3}}{2}$

Assim:

$\sf A_b=\dfrac{3\cdot4^2\cdot\sqrt{3}}{2}$

$\sf A_b=\dfrac{3\cdot16\cdot\sqrt{3}}{2}$

$\sf A_b=\dfrac{48\cdot\sqrt{3}}{2}$

$\sf A_b=24\sqrt{3}~cm^2$

A área total é:

$\sf A_T=A_b+A_L$

$\sf A_T=24\sqrt{3}+48\sqrt{6}$

$\sf \red{A_T=24\sqrt{3}\cdot(1+2\sqrt{2})~cm^2}$

=> Volume

Pelo Teorema de Pitágoras:

$\sf h^2+4^2=10^2$

$\sf h^2+16=100$

$\sf h^2=100-16$

$\sf h^2=84$

$\sf h=\sqrt{84}$

$\sf h=2\sqrt{21}~cm$

O volume é:

$\sf V=\dfrac{A_b\cdot h}{3}$

$\sf V=\dfrac{24\sqrt{3}\cdot2\sqrt{21}}{3}$

$\sf V=\dfrac{48\sqrt{63}}{3}$

$\sf V=\dfrac{48\cdot3\sqrt{7}}{3}$

$\sf V=\dfrac{144\sqrt{7}}{3}$

$\sf \red{V=48\sqrt{7}~cm^3}$

d)

=> Área lateral

Seja p a altura dos triângulos, faces laterais dessa pirâmide

Pelo Teorema de Pitágoras:

$\sf p^2+\Big(\dfrac{5}{2}\Big)^2=5^2$

$\sf p^2+\dfrac{25}{4}=25$

$\sf p^2=25-\dfrac{25}{4}$

$\sf p^2=\dfrac{100-25}{4}$

$\sf p^2=\dfrac{75}{4}$

$\sf p=\sqrt{\dfrac{75}{4}}$

$\sf p=\dfrac{5\sqrt{3}}{2}~cm$

A área lateral é:

$\sf A_L=4\cdot\dfrac{5\cdot\frac{5\sqrt{3}}{2}}{2}$

$\sf A_L=4\cdot\dfrac{\frac{25\sqrt{3}}{2}}{2}$

$\sf A_L=4\cdot\dfrac{25\sqrt{3}}{2}\cdot\dfrac{1}{2}$

$\sf A_L=4\cdot\dfrac{25\sqrt{3}}{4}$

$\sf A_L=\dfrac{100\sqrt{3}}{4}$

$\sf \red{A_L=25\sqrt{3}~cm^2}$

=> Área da base

$\sf A_b=a^2$

$\sf A_b=5^2$

$\sf A_b=5\cdot5$

$\sf A_b=25~cm^2$

A área total é:

$\sf A_T=A_b+A_L$

$\sf A_T=25+25\sqrt{3}$

$\sf \red{A_T=25\cdot(1+\sqrt{3})~cm^2}$

=> Volume

Pelo Teorema de Pitágoras:

$\sf h^2+\Big(\dfrac{5}{2}\Big)^2=\Big(\dfrac{5\sqrt{3}}{2}\Big)^2$

$\sf h^2+\dfrac{25}{4}=\dfrac{75}{4}$

$\sf h^2=\dfrac{75}{4}-\dfrac{25}{4}$

$\sf h^2=\dfrac{50}{4}$

$\sf h=\sqrt{\dfrac{50}{4}}$

$\sf h=\dfrac{5\sqrt{2}}{2}~cm$

O volume é:

$\sf V=\dfrac{A_b\cdot h}{3}$

$\sf V=\dfrac{25\cdot\frac{5\sqrt{2}}{2}}{3}$

$\sf V=\dfrac{\frac{125\sqrt{2}}{2}}{3}$

$\sf V=\dfrac{125\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{1}{3}$

$\sf \red{V=\dfrac{125\sqrt{2}}{6}~cm^3}$