Question

Calcule a área lateral a área total e o volume das piramides regulares, cujas medidas estão indicadas nas figuras abaixo:

Answer 1

1)

Cálculo do apótema $a_{p}$da pirâmide:

$\mathsf{5^2=a_{p}^2+(\dfrac{5}{2})^2}\\\mathsf{25=a_{p}^2+\dfrac{25}{4}\times4}\\\mathsf{100=4a_{p}^2+25}\\\mathsf{4a_{p}^2=100-25}$

$\mathsf{4a_{p}^2=75}\\\mathsf{a_{p}^2=\dfrac{75}{4}}\\\mathsf{a_{p}=\sqrt{\dfrac{75}{4}}}\\\mathsf{a_{p}=\dfrac{5\sqrt{3}}{2}~cm}$

apótema da base:

$\mathsf{m=\dfrac{5}{2}}$

cálculo da altura:

$\mathsf{h^2=a_{p}^2-m^2}\\\mathsf{h^2=\dfrac{75}{4}-\dfrac{25}{4}}\\\mathsf{h^2=\dfrac{50}{4}}\\\mathsf{h=\sqrt{\dfrac{50}{4}}=\dfrac{5\sqrt{2}}{2}cm}$

Área Lateral

$\mathsf{A_{L}=4.\dfrac{1}{2}.5.\dfrac{5\sqrt{3}}{2}}\\\boxed{\boxed{\boxed{\mathsf{A_{L}=25\sqrt{3}cm^2}}}}$

cálculo da área da base:

$\mathsf{B=5^2=25~cm^2}$

Área total

$\mathsf{A_{t}=A_{L}+B}\\\mathsf{A_{t}=25\sqrt{3}+25=25(\sqrt{3}+1)cm^2}$

Volume

$\mathsf{V=\dfrac{1}{3}.B.h}\\\mathsf{V=\dfrac{1}{3}.25.\dfrac{5\sqrt{3}}{2}=\dfrac{125\sqrt{3}}{6}~cm^3}$

2)

cálculo do apótema da base:

$\mathsf{m=\dfrac{4\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}~cm}$

cálculo do apótema da pirâmide:

$\mathsf{10^2=a_{p}^2+(\dfrac{4}{2})^2}\\\mathsf{100=a_{p}^2+4\to~a_{p}^2=100-4}\\\mathsf{a_{p}^2=96}\\\mathsf{a_{p}=\sqrt{96}=4\sqrt{6}~cm}$

cálculo da altura:

$\mathsf{a_{p}^2=h^2+m^2}\\\mathsf{96=h^2+12}\\\mathsf{h^2=96-12}\\\mathsf{h^2=84}\\\mathsf{h=\sqrt{84}=2\sqrt{21}~cm}$

Cálculo da área da base :

$\mathsf{B=\dfrac{3.4^2\sqrt{3}}{2}=24\sqrt{3}~cm^2}$

Área Lateral

$\mathsf{A_{L}=6.\dfrac{1}{2}.4.4\sqrt{6}=48\sqrt{6}~cm^2}$

Área total

$\mathsf{A_{t}=24\sqrt{3}+48\sqrt{6}}\\\mathsf{A_{t}=24\sqrt{3}(1+2\sqrt{2})cm^2}$

Volume

$\mathsf{V=\dfrac{1}{3}.24\sqrt{3}.2\sqrt{21}=16\sqrt{63}}\\\mathsf{V=16.3\sqrt{7}=48\sqrt{7}~cm^3}$