Question

calcule a área lateral, a área total e o volume da pirâmide regular, cujas dimensões estão indicadas na figura

Answer 1

10² = 4² + h²

100 - 16 = h²

h² = 84

h = 2 v21 ( altura da pirâmide )

sen(30) / 2 = sen(60) / a

1/2 / 2 = v3 / 2a

1 / 4 = v3 / 2a

2a = 4 v3

a = 2 v3 ( apótema da base )

x² = a² + h²

x² = 12 + 84

x² = 96

x = 4 v6 ( apótema da pirâmide )

área lateral

4 . 4v6 . 6 / 2 = 48 v6 cm²

área da base

4² . v3. 6  / 4 =  24 v3 cm²

área total

24 v3 + 48 v6 =

24( v3 + 2v6 ) cm²

volume

24 v3 . 2 v21 / 3 = 32 v7 cm³

Answer 2

A pirâmide regular tem base hexagonal.

É sabido que um hexágono circunscrito em uma circunferência tem a medida de sua lateral igual à medida do raio da circunferência.

Portanto é possível encontrar a altura da piramide pelo teorema de pitágoras:

10² = 4² + h²

100 - 16 = h²

h² = 84

altura h = 2 $\sqrt{21}$

A apótema da base é representada pela letra c na figura que acompanha a resposta.

Podemos calcular a medida da apótema por teorema de pitágoras (de novo)

$(2a)^2 = a^2 + c^2$

$4^2 = 2^2 + c^2$

$16 = 4 + c^2$

$c^2 = 16-4$

$c = \sqrt{12}$

apótema(base) $c = 2\sqrt{3}$

Com a apótema da base, podemos calcular a apótema das laterais da piramide. Para isto, usamos o teorema de pitágoras onde os catetos são a altura da piramide e a apótema da base:

Vamos chamar a apótema das laterais de y:

$y^2 = 12 + 84$

$y^2 = 96$

apótema (lateral) $y = 4 \sqrt{6}$

Finalmente podemos partir para o calculo das áreas.

Área das laterais:

Cada face terá medida dada pela

Área de uma lateral = $\dfrac{Base \cdot Altura}{2}$

A base do triangulo mede 4 cm

A lateral do triangulo mede $4\sqrt6$ cm

A área de uma face será será $\dfrac{4\cdot4\sqrt6}{2}=8\sqrt6$

Como são 6 faces, A lateral da piramide terá área igual a $48 \sqrt6$ cm²

Área da Base :

O hexagono é formado por 6 triangulos equiláteros com base igual a 4cm e apotema (que será a "altura") igual a $2\sqrt3$

portato teremos

Área da Base = $6\cdot \dfrac{4\cdot 2\sqrt3}{2}=24\sqrt3$

Área Total : será a soma das áreas:

24 $\sqrt3$ + 48 $\sqrt6$=

Volume da Piramide

O calculo do volome é dado pela equação

$Volume =\dfrac{1}{3}Area_{base}\cdot h$

$Volume = \dfrac{1}{3} \cdot24 \sqrt3\cdot 2\sqrt{21}$

$Volume = \dfrac{1}{3} \cdot48 \sqrt{3\cdot 21}$

$Volume = \dfrac{1}{3} \cdot48 \cdot3\sqrt{7}$

$Volume = 48 \sqrt{7}$ cm³