Question

Calcule a área hachurada da figura:

Answer 1

Observe a figura em anexo.

Suponhamos que queiramos calcular á área em cinza-escuro da figura que eu anexei nesta resposta. É óbvio que esta área é apenas a metade da área $x$ pedida no enunciado questão, mas veja este raciocínio. Considerando a figura anexa a esta resposta, temos que


a área em cinza claro é a área do triângulo $ABC$, que é dada por

$A_{\Delta ABC}=\dfrac{r^{2}}{2}$


a área em cinza escuro, é a metade da área $x$ pedida no enunciado da questão, ou seja

$=\dfrac{x}{2}$


Mas, juntando as duas áreas acima, forma-se um setor circular de raio $r=2\text{ cm}$ e ângulo $\theta=90^{\circ}$, ou ainda $\theta=\dfrac{\pi}{2}\text{ rad}$. A área deste setor circular é

$A_{\text{setor}}=\dfrac{\theta}{2\pi}\cdot \pi r^{2}\\ \\ A_{\text{setor}}=\dfrac{\theta \cdot r^{2}}{2}\\ \\ A_{\text{setor}}=\dfrac{\,^{\pi}\!\!\!\diagup\!\!_{2} \cdot r^{2}}{2}\\ \\ A_{\text{setor}}=\dfrac{\pi r^{2}}{4}$


Como a área do setor é igual a soma das áreas do triângulo $ABC$ com a área em cinza escuro da figura anexa a esta resposta, temos que

$A_{\text{setor}}=A_{\Delta ABC}+\dfrac{x}{2}\\ \\ \dfrac{\pi r^{2}}{4}=\dfrac{r^{2}}{2}+\dfrac{x}{2}\\ \\ \dfrac{x}{2}=\dfrac{\pi r^{2}}{4}-\dfrac{r^{2}}{2}\\ \\ x=2\cdot \left(\dfrac{\pi r^{2}}{4}-\dfrac{r^{2}}{2} \right )\\ \\ x=\dfrac{2\pi r^{2}}{4}-r^{2}\\ \\ x=\dfrac{\pi r^{2}}{2}-r^{2}\\ \\ \boxed{x=r^{2}\cdot \left(\dfrac{\pi}{2}-1 \right )}$


A fórmula acima nos dá $x$, que é a área pedida no enunciado da questão. Como $r=2\text{ cm}$, substituindo na fórmula acima, temos

$x=\left(2 \right )^{2}\cdot \left(\dfrac{\pi}{2}-1 \right )\\ \\ \boxed{x=4\cdot \left(\dfrac{\pi}{2}-1 \right )\text{ cm}^{2}}\;\;\;\text{(valor exato)}$


ou, se quisermos o valor aproximado

$x\approx 4\cdot \left(\dfrac{3,14}{2}-1 \right )\\ \\ x \approx 4\cdot \left(1,57-1 \right )\\ \\ x \approx 4\cdot 0,57\\ \\ \boxed{x \approx 2,28\text{ cm}^{2}}$


Logo, a área hachurada da figura do enunciado é aproximadamente $2,28\text{ cm}^{2}$.