Question

Calcule a área exata da superfície obtida pela rotação da curva
preciso de ajuda urgente

Answer 1

Chegamos a conclusão de que:

• Questão 3) $\bf A_l = 4\pi\:u.a$;
• Questão 4) $\bf S = \pi\:u.c$.

Explicação

3) Temos a seguinte função:

$\: \: \bullet \: \: \: y = \sqrt{1 - x {}^{2} }, \: \: - 1 \leqslant x \leqslant 1$

O objetivo é determinarmos a área da superfície de revolução desta função em torno do eixo x.

• Expressão da área da superfície:

Assim com nos outros cálculos, vamos dividir está função em infinitas fatias iguais.

• Ao rotacionarmos em torno de x, o resultado é que a função torna-se uma esfera e a fatia torna-se um cilindro infinitesimal.

Como queremos a área superficial, podemos basicamente calcular a área lateral deste cilindro e ao final somar através de uma integral todas elas, já que saberemos a área de uma delas e todas são iguais.

A área lateral de um cilindro é dada por:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \boxed{ A_l = 2\pi \: . \: r \: . \: h}$

Se você observar a figura anexada, o raio neste caso é basicamente a função e a altura é a diferencial de comprimento da função. Além disso, a área lateral é infinitesimal, ou seja, será também dada por uma diferencial, Logo:

$A_l = 2\pi \: . \: r \: . \: h \: \to \: dA_l = 2\pi \: . \: f(x) \: . \: dS$

Como sabemos, o comprimento infinitesimal de uma função é dada pela fórmula abaixo:

$dS^2= dx^2+dy^2 \: \to \: dS = \sqrt{dx {}^{2} + dy {}^{2} } \\ \\ \frac{dS}{dx} = \frac{ \sqrt{dx {}^{2} + dy {}^{2} } }{dx} \: \to \: \frac{dS}{dx} = \sqrt{ \frac{dx {}^{2} }{dx {}^{2}} + \frac{dy {}^{2} }{dx {}^{2} } } \\ \\ dS = \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx} \right)^{2} } \: dx$

Substituindo esta expressão na diferencial de área lateral acima.

$dA_l = 2\pi.f(x). \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right) {}^{2} } \: dx \\ \\ dA_l = 2\pi. f(x) \: . \: \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right) {}^{2} } \: dx$

Esta é a expressão que nos dá a área da superfície de uma pequena fatia, então vamos aplicar a integral, que soma estas infinitas partes, gerando a área total da superfície.

$A_l = 2\pi\int_{ a}^{b} f(x)\: \cdot \: \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^{2} } \: dx$

• Superfície de Revolução:

Agora vamos substituir os dados na relação montada acima.

$A_l = 2\pi\int_{ - 1}^{1} ( \sqrt{1 - x {}^{2} } )\: \cdot \: \sqrt{1 + \left( \frac{ dy}{dx} \right)^{2} } \: dx$

Como pode ser observado, a derivada da função em questão é necessária.

________________________________

• Derivada da função:

$y = \sqrt{1 - x {}^{2} } \: \: \to \: \: y = (1 - x {}^{2} ) {}^{ \frac{1}{2} } \\ \\ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} .(1 - x {}^{2} ) {}^{ \frac{1}{2} - 1} . \frac{d}{dx} (1 - x {}^{2} ) \\ \\ \frac{dy}{dx} = \frac{(1 - x {}^{2} ) {}^{ - \frac{1}{2} } }{2} .( - 2x) \\ \\ \boxed{ \frac{dy}{dx} = - \frac{ x}{(1 - x {}^{2} ) {}^{ \frac{1}{2} } } }$

________________________________

Substituindo o resultado da derivada.

$A_l = 2\pi\int_{ - 1}^{1} ( \sqrt{1 - x {}^{2} } )\: \cdot \: \sqrt{1 + \left( - \frac{ x}{(1 - x {}^{2} ) {}^{ \frac{1}{2} } } \right)^{2} } \: dx \\ \\ A_l = 2\pi\int_{ - 1}^{1} ( \sqrt{1 - x {}^{2} } )\: \cdot \: \sqrt{1 + \frac{ x {}^{2} }{1 - x {}^{2} }} \: dx \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ A_l = 2\pi\int_{ - 1}^{1} ( \sqrt{1 - x {}^{2} } )\: \cdot \: \sqrt{ \frac{ 1 - x {}^{2} + x {}^{2} }{1 -x {}^{2} }} \: dx \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ A_l = 2\pi\int_{ - 1}^{1} ( \sqrt{1 - x {}^{2} } )\: \cdot \: \sqrt{ \frac{ 1 }{1 -x {}^{2} }} \: dx \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ A_l = 2\pi\int_{ - 1}^{1} ( \sqrt{1 - x {}^{2} } )\: \cdot \: \frac{ 1 }{ \sqrt{1 -x {}^{2} }} \: dx \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ A_l = 2\pi\int_{ - 1}^{1} 1 \: dx \: \: \to\: \: A_l = 2\pi \cdot [x] \bigg |_{ - 1}^{1} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo:

$A_l = 2\pi \cdot [x] \bigg |_{ - 1}^{1} \: \: \to \: \: A_l = 2\pi.1 - 2\pi.( - 1) \\ \\ A_l = 2\pi + 2\pi \: \to \: \: \boxed{\bf A_l = 4\pi \: u.a}$

________________________________

4) Ainda em relação a função $\bf y = \sqrt{1-x^2}$, devemos agora encontrar o seu comprimento. Observe que é basicamente a expressão do radical acima, ou seja:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: S = \int \limits_{-1}^{1}{ \frac{1 }{ \sqrt{1 - x {}^{2} } } } \: dx$

• Esta integral gerada é conhecida como imediata, já que possui um valor pré definido, sendo ele:

$\boxed{ \int \limits{ \frac{1 }{ \sqrt{1 - x {}^{2} } } } \: dx = \arcsin(x) +C, C\in\mathbb{R}}$

Logo:

$S = \int \limits_{-1}^{1}{ \frac{1 }{ \sqrt{1 - x {}^{2} } } } \: dx \: \to \: \: S = \arcsin(x) \bigg |_ { - 1}^{1} \\ \\ S = \arcsin( 1) - \arcsin( - 1) \\ \\ S = \frac{\pi}{2} - \left( - \frac{\pi}{2} \right) \\ \\ \boxed{ \bf S =\pi \: u.c}$

Espero ter ajudado

Leia mais sobre em:

https://brainly.com.br/tarefa/4624829

https://brainly.com.br/tarefa/6226492