Question

Calcule a área entre as curvas f(x)= x³ e g(x) = x.

Answer 1

Resposta: A partir dos dados fornecidos pelo problema e dos devidos cálculos que realizaremos, podemos verificar que a área total compreendida entre essas duas curvas é igual a 1/2 u.a (unidades de área).

• Vamos entender ou por quê?

Nosso objetivo é calcular a área entre essas duas curvas definidas como f(x)= x³ e g(x) = x.

A área entre dois recursos é igual à área do recurso acima menos a área do recurso abaixo. Seja uma região do plano cercada por uma curva. A área dessa região pode ser calculada por integral definida. A expressão dessa integral depende da forma em que a curva é expressa.

Para encontrar a área entre as curvas f(x)= x³ e g(x) = x, devemos igualar ambas as funções para obter as interações entre essas duas funções. Se fizermos isso, obteremos a equação:

$\sf x^3= x\\\\\\\\ \sf x^3- x =0$

Esta equação é uma equação incompleta de terceiro grau, para resolver uma equação incompleta de terceiro grau devemos aplicar a fatoração, se fatorarmos a equação obtemos:

$\sf x(x^2 - 1) =0\\\\\\\\ \sf x(x-1) (x+1)=0$

Agora o fator desta equação já fatorada deve ser igual a 0, então igualando cada fator a 0 obtemos o valor das seguintes interações:

$\sf x =0\qquad x-1=0 \qquad x+1=0 \\\\\\\\ \sf x =0\qquad x=1 \qquad x=-1$

Podemos ver que existem duas regiões limitadas por essas duas funções, se fizermos o gráfico dessas duas funções é possível ver que sim existem 2 áreas, a primeira área seria um intervalo de -1 a 0 e a segunda área seria um intervalo de 1 a 0, ao passar isso devemos encontrar a área dessas duas funções e somadas. A área 1 é igual à seguinte integral definida:

$\displaystyle \sf A _1=\int^ 0_{-1} x^3 - x dx$

Para resolver ou calcular uma integral definida, calcule a integral sem levar em conta os limites de integração. Em seguida, avalia-se o resultado da integral, subtraindo-se o valor obtido pela substituição do limite inferior de integração daquele obtido pela substituição do limite superior de integração.

Primeiro vamos resolver essa integral sem levar em conta os limites de integração, para resolver esta integral vamos aplicar a regra da adição, a regra da adição é expressa da seguinte forma: $\sf \int f(x)\pm g(x) dx = \int f(x)dx\pm\int g(x)dx$

Então, se aplicarmos essa regra com nossa integral, obteremos:

$\displaystyle \sf A _1=\int^ 0_{-1} x^3 dx- \int^ 0_{-1} x dx$

Para resolver essas duas integrais podemos aplicar a regra da potência, a regra da potência é expressa como: $\sf \int x^n dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C$

Aplicando esta regra em nossa integral podemos concluir que a solução sem sequer avaliar seus limites de integração é igual a:

$\displaystyle \sf A _1=\left[\dfrac{x^{3+1}}{3+1} +\dfrac{x^{1+1}}{1+1} \right]^0 _{-1}\\\\\\\\ \displaystyle \sf A _1=\left[\dfrac{x^4}{4} +\dfrac{x^2}{2} \right]^0 _{-1}$

Avaliando nossa integral nos limites superior e inferior:

$\displaystyle \sf A _1=\left(\dfrac{0^4}{4} +\dfrac{0^2}{2} \right)-\left(\dfrac{-1^4}{4} +\dfrac{-1^2}{2}\right)\\\\\\\\\displaystyle \sf A _1=-\left(\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}\right) \\\\\\\\\displaystyle \sf A _1 = - \left( - \dfrac{1}{4}~u.a \right)\\\\\\\\ \displaystyle \sf A_1=\dfrac{1}{4}~u.a$

O valor dessa integral é a área de ambas as funções entre os intervalos de -1 a 0, portanto, resta apenas calcular a área entre os intervalos de 0 a 1. O valor da segunda área é dado pela integral:

$\displaystyle \sf A _2=\int^ 1_0 x -x^3 dx$

Resolvendo esta integral:

$\displaystyle \sf A _2=\int^ 1_0 xdx -\int^ 1_0x^3 dx\\\\\\\\\displaystyle \sf A _2=\left[\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^4}{4}\right]^1 _0\\\\\\\\ \displaystyle \sf A_2= \left(\dfrac{1^2}{2} -\dfrac{1^4}{4}\right)-\left(\dfrac{0^2}{2}-\dfrac{0^4}{4}\right)\\\\\\\\ \displaystyle \sf A_2 =\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}\\\\\\\\ \displaystyle \sf A _2= \dfrac{1}{4} ~u.a$

Calculamos a área total entre essas duas curvas, para encontrar a área total podemos somar a primeira área mais a segunda e se fizermos isso obtemos:

$\sf A _T=\dfrac{1}{4}~u.a+\dfrac{1}{4} ~u.a\\\\\\\\\ \sf A_ T =\dfrac{2^{\div 2}}{4^{\div 2}}~u.a= \dfrac{1}{2}~u.a\\\\\\\\ \sf \boxed{\boxed{\sf A _ T =0{,}5~u.a}}$

Conclusão: Feitos os cálculos, chegamos à conclusão de que a área entre essas duas curvas é igual a 1/2 u.a.