Matemática, perguntado por loloheloiza38791, 5 meses atrás

Calcule a área entre as curvas f(x)= x2 - 2x e g(x) = 2x.

Soluções para a tarefa

Respondido por Gurgel96

O cálculo de áreas entre curvas é realizado a partir integral definida do ponto de início até o final da área a ser calculada. A área entre as curvas é 32/3.

Primeiramente vamos montar o gráfico das funções f(x) e g(x) determinando valores para x e encontrando y.

Plotando os gráficos das funções f(x) e g(x)

PARÁBOLA

Para f(x) = x² - 2x e x = 0, temos

f(0) = 0² - 2·0

f(0) = 0

Ponto A = (0,0)

Para f(x) = x² - 2x e x = 1

f(1) = 1² - 2·1

f(1) = 1 - 2

f(1) = -1

Ponto B (1,-1)

Para f(x) = 0

x² - 2x = 0

x · (x - 2) = 0

As raízes são 0 e 2, então a parábola toca o eixo x em A(0,0) e C(2,0).

Observe o gráfico os pontos A(0,0), B(1,-1) e os pontos onde a parábola toca x, (0,0) e (2,0).

RETA

g(x) = 2x para x = 1

g(1) = 2·1

g(1) = 2

Ponto D(1,2)

g(x) = 2x para x = 2

g(2) = 2·2

g(2) = 4

Ponto E (2,4)

Como dois pontos formam uma reta, observe no gráficos pontos D(1,2) e D(2,4) formando a reta f.

Definindo a área da área formada pelas funções

Para calcular área formada pelas duas funções, primeiro vamos subtrair a menor da maior, considerando a integral.

Agora observe no gráfico que a área a ser calculada tem início em 0 e vai até 4 no eixo x, e, portanto, vamos defini-á de 0 a 4.

$\int\limits^4_0[2x-(x^{2} -2x)]dx=\\ \\ \\ \int\limits^4_0(2x-x^{2} +2x)dx=\\ \\ \\ \int\limits^4_0(4x-x^{2})dx=\\ \\ \\ \dfrac{4x^{2} }{2} -\dfrac{x^{3} }{3}=\\ \\ \\ 2x^{2} -\dfrac{x^{3} }{3}~\left \right |^4_0 ~=\\ \\ \\ \left(2\cdot 4^{2} -\dfrac{4^{3} }{3} \right)- \left(2\cdot 0^{2} -\dfrac{0^{3} }{3} \right)=\\ \\ \\ \\ 32 -\dfrac{64}{3}\\ \\ \\ \\ \boxed{\dfrac{32}{3} }$