Matemática, perguntado por flaviopacote68, 9 meses atrás

Calcule a area entre a curva y = e^-x e o eixo x no primeiro quadrante.

Soluções para a tarefa

Respondido por SubGui
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Resposta:

\boxed{\bold{\displaystyle{1~u.~a}}}

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para determinarmos a área entre a curva y=e^{-x} e o eixo das abscissas no primeiro quadrante, utilizaremos integrais.

Veja que o primeiro quadrante se trata do intervalo x\in\left[0,+\infty\right].

Lembre-se que a integral entre duas curvas f(x) e g(x), contínuas num dado intervalo [a,~b], tal que f(x)\geq g(x) em todo o intervalo é dada por:

\displaystyle{\int_a^b f(x)-g(x)\,dx}

Dessa forma, consideremos que o eixo representa a equação g(x)=0, logo teremos

\displaystyle{\int_0^{\infty} e^{-x}-0\,dx}

Como zero é um elemento neutro para adição ou subtração, temos

\displaystyle{\int_0^{\infty} e^{-x}\,dx}

Para calcularmos esta integral, faremos uma substituição.

Seja u=-x. Derivando implicitamente ambos os lados para encontrarmos o diferencial du, teremos

du=-dx

Logo, isolando dx, temos

dx=-du

Ao fazermos estas substituições, alteram-se os limites de integração para a variável em questão, logo quando x=0,~u=0 e quando x\rightarrow \infty,~u\rightarrow-\infty.

Substituindo estas informações na integral temos:

\displaystyle{\int _{0}^{-\infty}e^u\,(-du)

Aplicando a propriedade da integral do produto entre uma constante e uma função, temos

\displaystyle{-\int _{0}^{-\infty}e^u\,du

Sabendo que \displaystyle{\int_a^bf(x)\,dx=-\int_b^a f(x)\,dx, temos

\displaystyle{\int _{-\infty}^{0}e^u\,du

Sabendo que \displaystyle{\int e^x\,dx=e^x}, temos

e^u~\biggr|_{-\infty}^0

Por fim, lembre-se que de acordo com o Teorema fundamental do Cálculo, a integral definida de uma função é calculada por \displaystyle{\int_a^b f(x),dx=F(x)~\biggr|_a^b=F(b)-F(a), tal que F(x) é uma primitiva da função f(x) e \dfrac{d(F(x))}{dx}=f(x).

Lembre-se também que esta é uma integral imprópria, logo fazemos:

e^0-\underset{u\rightarrow-\infty}{\lim} e^u

Sabendo que e^0=1 e que a função exponencial decresce muito rápido quando os valores tendem ao menos infinito (ou seja, valores negativos muito grandes), temos

1-0

Some os termos

1

Esta é a área entre as curvas nestas condições.

Anexos:

flaviopacote68: Salvou demais! Valeu!
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