Calcule a area entre a curva y = e^-x e o eixo x no primeiro quadrante.
Soluções para a tarefa
Resposta:
Explicação passo-a-passo:
Olá, boa noite.
Para determinarmos a área entre a curva e o eixo das abscissas no primeiro quadrante, utilizaremos integrais.
Veja que o primeiro quadrante se trata do intervalo .
Lembre-se que a integral entre duas curvas e , contínuas num dado intervalo , tal que em todo o intervalo é dada por:
Dessa forma, consideremos que o eixo representa a equação , logo teremos
Como zero é um elemento neutro para adição ou subtração, temos
Para calcularmos esta integral, faremos uma substituição.
Seja . Derivando implicitamente ambos os lados para encontrarmos o diferencial , teremos
Logo, isolando , temos
Ao fazermos estas substituições, alteram-se os limites de integração para a variável em questão, logo quando e quando .
Substituindo estas informações na integral temos:
Aplicando a propriedade da integral do produto entre uma constante e uma função, temos
Sabendo que , temos
Sabendo que , temos
Por fim, lembre-se que de acordo com o Teorema fundamental do Cálculo, a integral definida de uma função é calculada por , tal que é uma primitiva da função e .
Lembre-se também que esta é uma integral imprópria, logo fazemos:
Sabendo que e que a função exponencial decresce muito rápido quando os valores tendem ao menos infinito (ou seja, valores negativos muito grandes), temos
Some os termos
Esta é a área entre as curvas nestas condições.