Question

Calcule a área entre a curva descrita pela função y(x)=2/√2-x^2 e o eixo x, no intervalo 0 ≤ x ≤ √2

A) 3π/2
B) π
C) π/2
D) π
E) 2π

Answer 1

Aplicaremos substituição trigonométrica:

a² - x² ⇔ faça:  x = aSenβ

√2 - x² ⇔    x = √2Senβ

Então,


$\\ \frac{dx}{d \beta } = \sqrt{2} Cos \beta \\ \\ dx = \sqrt{2} Cos \beta d \beta$

Aplicando mudança de limites:

Para x  = 0

0 = √2Senβ

Senβ = 0

β = 0

Para x = √2

√2 = √2Senβ

Senβ = 1

β = π/2


Assim segui que:

$\int\limits^ \frac{ \sqrt{2} }{} _0 { \frac{2}{ \sqrt{2-x^2} } } \, dx = \int\limits^ \frac{ \pi }{2} _0 { \frac{2}{ \sqrt{2-( \sqrt{2}Sen \beta } )^2} } \, . \sqrt{2} Cos \beta d \beta \\ \\ = \int\limits^ \frac{ \pi }{2} _0 { \frac{2}{ \sqrt{2-2Sen ^2\beta } } \, . \sqrt{2} Cos \beta d \beta \\ \\ = \int\limits^ \frac{ \pi }{2} _0 { \frac{2}{ \sqrt{2(1-Sen ^2\beta) } } \, . \sqrt{2} Cos \beta d \beta$


$\\= \int\limits^ \frac{ \pi }{2} _0 { \frac{2}{ \sqrt{2Cos^2 \beta } } \, . \sqrt{2} Cos \beta d \beta \\ \\ = \int\limits^ \frac{ \pi }{2} _0 { \frac{2}{ \sqrt{2} .Cos \beta } \, . \sqrt{2} Cos \beta d \beta$

$\\ = \int\limits^ \frac{ \pi }{2} _0 2d \beta \\ \\ =2 \beta |(0, \frac{ \pi }{2} ) \\ \\ =2. \frac{ \pi }{2}-0 \\ \\ = \pi u.a$

A resposta seria "π" tem algum bug nesse gabarito, pois existem duas alternativas!

Answer 2

Resposta:

π a.u

Explicação passo a passo:

Corrigido pelo AVA