Question

Calcule a área entre a curva descrita pela função y(x)=1/raiz2-x^2 e o eixo x, no intervalo 0 ≤ x ≤ raiz2
a. 3pi/2
b. 2pi
c. pi/2
d. pi
e. 0

Answer 1

Usaremos substituição trigonométrica.

a² - x² ⇔ faça:  x = aSenβ

a² = 2

a = √2

Ai, fica:

x = √2Senβ

Mudando os limites de integração para x  = 0 e x = √2

0 = √2Senβ

Senβ = 0

β = 0

E para x = √2

√2 = √2Senβ

Senβ = 1

β = π/2
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Agora iremos derivar "x"

$\\ x = \sqrt{2} Sen \beta \\ \\ dx = \sqrt{2} Cos \beta d \beta$

Indo para nossa integral:

$\\ \int\limits^ \frac{ \sqrt{2} }{} _0 { \frac{1}{ \sqrt{2-x^2} } } \, dx = \int\limits^ \frac{ \pi }{2} _0 { \frac{1}{ \sqrt{2-( \sqrt{2} Sen \beta )^2} } } \, . \sqrt{2} Cos \beta d \beta \\ \\ = \int\limits^ \frac{ \pi }{2} _0 { \frac{1}{ \sqrt{2(1-Sen^2 \beta )} } } \, . \sqrt{2} Cos \beta d \beta \\ \\ = \int\limits^ \frac{ \pi }{2} _0 { \frac{1}{ \sqrt{2}Cos \beta } } \, . \sqrt{2} Cos \beta d \beta \\ \\ = \int\limits^ \frac{ \pi }{2} _01d \beta$

$\\= 1 \beta |(0, \frac{ \pi }{2} ) \\ \\= 1. \frac{ \pi }{2}-0 \\ \\ = \pi /2$

Answer 2

Resposta:

PI/2

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LETRA C