Question

Calcule a área dos polígonos regulares no caso do hexágono lembre-se que é formado por seis triângulos regulares

Answer 1

Resposta:

A partir da figura em anexo o hexágono temos 6 triângulos equilátero:

Aplicando o Teorema de Pitágoras para determinar altura:

$\sf \displaystyle h^2 + \left ( \dfrac{l}{2} \right )^2 = l^2$

$\sf \displaystyle h^2 + \dfrac{l^2}{4} = l^2$

$\sf \displaystyle h^2 = l^2 - \dfrac{l^2}{4}$

$\sf \displaystyle h^2 = \dfrac{4l^2}{4} - \dfrac{l^2}{4}$

$\sf \displaystyle h^2 = \dfrac{3l^2}{4}$

$\sf \displaystyle h = \sqrt{\frac{3l^2}{4} }$

$\framebox{ \boldsymbol{ \sf \displaystyle h = \dfrac{\sqrt{3} }{2} \: \mathit {l} }}$

Área do triângulo é dada por:

$\sf \displaystyle A_{\triangle} = \dfrac{b \cdot h}{2}$

Substituindo os termos, temos:

$\sf \displaystyle A_{\triangle} = \dfrac{\mathit {l} \cdot \dfrac{\sqrt{3} }{2} \: \mathit {l} }{2}$

$\sf \displaystyle A_{\triangle} = \dfrac{\mathit {l}^2 \cdot \sqrt{3} }{2} \cdot \dfrac{1}{2}$

$\framebox{ \boldsymbol{ \sf \displaystyle A_{\triangle} = \dfrac{\mathit {l}^2 \cdot \sqrt{3} }{4} }}$

O hexágono é formado por seis triângulos equiláteros, logo, área do hexágono é multiplicar seis:

$\sf \displaystyle A_{\text{\sf hex{\'a}gono}} = \dfrac{ 6\:\mathit {l}^2 \cdot \sqrt{3} }{4} }$

$\framebox{ \boldsymbol{ \sf \displaystyle A_{\text{\sf hex{\'a}gono}} = \dfrac{ 3\:\mathit {l}^2 \cdot \sqrt{3} }{2} }}$

a)

$\sf \displaystyle A_{\text{\sf hex{\'a}gono}} = \dfrac{ 3\cdot\mathit {(40\:mm)}^2 \cdot \sqrt{3} }{2} }$

$\sf \displaystyle A_{\text{\sf hex{\'a}gono}} = \dfrac{ 3\cdot\mathit {1600\:mm^2} \cdot \sqrt{3} }{2} }$

$\sf \displaystyle A_{\text{\sf hex{\'a}gono}} = 3\cdot\mathit {800\:mm^2} \cdot \sqrt{3} } }$

$\boxed{ \boxed { \boldsymbol{ \sf \displaystyle A_{\text{\sf hex{\'a}gono}} = \mathit {2400\:\sqrt{3} \:mm^2} } } }}} \quad \gets \mathbf{ Resposta }$

b)

$\sf \displaystyle A_{\text{\sf hex{\'a}gono}} = \dfrac{ 3\cdot\mathit {(5\:cm)}^2 \cdot \sqrt{3} }{2} }$

$\sf \displaystyle A_{\text{\sf hex{\'a}gono}} = \dfrac{ 3\cdot\mathit { 25 \:\sqrt{3} \:cm}^2 }{2} }$

$\sf \displaystyle A_{\text{\sf hex{\'a}gono}} = \dfrac{ \mathit { 75 \:\sqrt{3} \:cm}^2 }{2} }$

$\boxed{ \boxed { \boldsymbol{ \sf \displaystyle A_{\text{\sf hex{\'a}gono}} = \mathit {37,5\:\sqrt{3} \:cm^2} } } }}} \quad \gets \mathbf{ Resposta }$

Explicação passo-a-passo:

Hexágono → é uma figura plana que possui 6 lados.