Question

calcule a area dos losangos a) D 24m e lado 13m.
b) d 12m e lado 12 m.
c) angulo 120 e D 24m. veja foto.

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Matemat, que a resolução é simples, porém só um pouquinho trabalhosa.

a) Veja que o losango da letra "a" tem um lado medindo 13m e tem a diagonal maior (D) medindo 24m.

a.i) Se você traçara diagonal menor (d) ela vai se cruzar com a diagonal maior (D) exatamente no meio e formando quatro ângulos retos. Assim, o lado que mede 13m passará a ser a hipotenusa, ficando os catetos sendo: 12m (que é o pedaço da diagonal maior que foi repartida bem no meio pela diagonal menor) e d/2, que é a parte da diagonal menor que foi repartida quando cruzou com a diagonal maior. Assim, se você aplicar Pitágoras, terá:

13² = 12² + (d/2)²
169 = 144 + d²/4 ---- passando 144 para o 1º membro, temos:
169 - 144 = d²/4
25 = d²/4 ---- multiplicando-se em cruz, teremos:
4*25 = d²
100 = d² --- ou, invertendo-se:
d² = 100
d = ± √(100) --- como √(100) = 10, teremos:
d = ± 10 metros --- mas como a medida não pode ser negativa,então tomaremos apenas a raiz positiva e igual a:

d = 10 metros <-- Esta é a medida da diagonal menor.

a.ii) ) Agora vamos à área (A) do losango da letra "a".
Note que a área (A) de um losango é dado por diagonal maior (24m) vezes diagonal menor (10m) tudo isso dividido por "2". Então, teremos que:

A = 24*10/2
A = 240/2
A = 120m² <--- Esta é a área do losango da letra "a".

b) O losango da letra "b" tem a diagonal menor (d) medindo 12m e tem um lado medindo também 12m.
Vamos seguir o mesmo raciocínio e vamos traçar a diagonal maior (D).
Com isso, iremos ficar com quatro triângulos retângulos, cuja hipotenusa será o lado (12m) e cujos catetos serão: 6m (que é a metade da diagonal menor cortada pela diagonal maior) e D/2, que é a metade da diagonal maior quando cruza com a diagonal menor. Assim, aplicando Pitágoras, teremos:

12² = 6² + (D/2)²
144 = 36 + D²/4
144 - 36 = D²/4
108 = D²/4 --- multiplicando-se em cruz, teremos:
4*108 = D²
432 = D² --- ou, invertendo-se:
D² = 432
D = ±√(432) ----- note que √(432) = 20,78 (aproximadamente). Logo:
D = ± 20,78m ---- tomando-se apenas a raiz positiva, temos:
D = 20,78m <--- Esta é a medida da diagonal maior.

b.ii) Agora vamos à área: diagonal maior vezes diagonal menor sobre "2". Logo:

A = 20,78*12/2
A = 249,36/2
A = 124,68m² <--- Esta é a área do losango do item "b".

c) O losango do item "c" tem diagonal maior (D) igual a 24m e tem um ângulo de 120º. Note que os ângulos opostos de um losango são iguais. Assim, o ângulo oposto ao ângulo de 120º também medirá 120º. E como a soma dos ângulos de um losango é de 360º, então se chamarmos um dos ângulos menores de "x' o outro também será "x", pois eles também são opostos um do outro. Assim, teremos:

120º + 120º + x + x = 360º
240º + 2x= 360º
2x = 360º-240º
2x = 120º
x = 120º/2
x = 60º <--- Esta é a medida dos de cada um dos ângulos menores e opostos.

E note: como cada ângulo menor está cortado pela diagonal maior (D),então ela está dividindo exatamente no meio cada ângulo menor.Assim, teremos ângulos de 30º. E como a diagonal menor, quando traçada, corta ao meio a diagonal maior, ela forma quatro ângulos retos, cuja hipotenusa passará a ser um dos lados do losango, que vamos chamar de "L",ficando os catetos sendo a diagonal menor cortada ao meio (d/2) quando cortada pela diagonal maior (24m) e 12m que é a parte da diagonal maior que foi cortada ao meio pela diagonal menor. Assim, pela relação tan(30º) = cateto oposto/cateto adjacente, teremos a medida da diagonal menor. Logo:

tan(30º) = cateto oposto/cateto adjacente

Substituindo-se tan(30º) por √(3)/3; substituindo-se cateto oposto ao ângulo de 30º de "d/2" e substituindo-se o cateto adjacente ao ângulo de 30º por 12, teremos:

√(3)/3 = (d/2)/12 ---- como √(3) = 1,732 (aproximadamente), temos:
1,732/3 = (d/2)/12 ---- como 1,732/3 = 0,577 (aproximadamente), temos:
0,577 = (d/2)/12 ----note que (d/2)/12 = d/2*12 = d/24. Logo:
0,577 = d/24 ---- multiplicando-se em cruz, teremos:
24*0,577 = d
13,848 = d ---- ou, invertendo-se:
d = 13,848 <---Esta é a medida da diagonal menor.
 
Agora vamos à área, que é dada por D*d/2.Assim:

A = 24*13,848/2
A = 332,353/2
A = 166,176m² <--- Esta é a resposta para a questão do item "c".

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.