Question

Calcule a área do triângulo formado pelos pontos A, B e C, onde A=(1,0,1), B=(2,-5,1) e C=(1,2,4)

Answer 1

Olá

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A área do triangulo é metade da área do paralelogramo, então, vamos primeiro encontrar a área do paralelogramo.

A=(1,0,1)
B=(2,-5,1)
C=(1,2,4)

Criando os vetores AB e AC

$\vec{AB}=B-A=(2,-5,1)-(1,0,1) \\ \\ \vec{AB}=(1,-5,0) \\ \\ \\ \vec{AC}=C-A=(1,2,4)-(1,0,1) \\ \\ \vec{AC}=(0,2,3)$

Podemos calcular a área do paralelogramo fazendo o produto vetorial entre os vetores AB e AC, e em seguida pegar o vetor resultante e calcular o seu módulo.

Fazendo o produto vetorial entre AB e AC

$ABxAC= \left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\1&-5&0\\0&2&3\end{array}\right] \\ \\ \\ \text{Resolve por sarrus} \\ \\ \\ \left[\begin{array}{cccc} i ~ ~~~~ ~~ & j~ ~~~~ ~~ & k~ ~~~~ ~~ & i ~ ~~~~ ~~ j \\ 1~ ~~~~ ~~ & -5~ ~~~~ ~~ & 0~ ~~~~ ~~~ & 1~ ~~ ~ -5 \\ 0 ~ ~~~~ ~~ & 2~ ~~~~ ~~ & 3 ~ ~~~~ ~~ & 0 ~ ~~~~ ~~2\\ \end{array}\right] \\ \\\\(-15i+0j+2k)~- ~(3j+0i+0k) \\ \\ -15i-3j+2k \\ \\ \boxed{\vec{w}=(-15,-3,2)}~~\longleftarrow~~~\text{vetor resultante}$

Agora temos que calcular o módulo do vetor que encontramos

$\vec{w}= \sqrt{(-15)^2+(-3)^2+(2)^2} \\ \\ \vec{w}= \sqrt{225+9+4} \\ \\\boxed{ \vec{w}= \sqrt{238} }~~~~~ ~~\longleftarrow ~~~~\text{Este e a area do paralelogramo} \\ \\ \\ \text{Entao, a area do triangulo sera} \\ \\ \boxed{\boxed{A_{\triangle}= \frac{ \sqrt{238} }{2}}}$