Question

Calcule a área do triângulo determinado pelas retas

r: 3x – y = 0

s: -x + y = -2

t: 2x + y = 10​

Answer 1

A primeira coisa que devemos fazer é desenhar essas três funções em um mesmo plano cartesiano. Tendo feito isso você observará que formará-se um triângulo de pontos desconhecidos até o momento, já que provavelmente fizemos apenas um esboço qualquer. Para encontrar esses pontos, vamos calcular os pontos de interseção entre cada uma das retas.

• Interseção de reta "r" e "s":

$\sf 3x \cancel {- y} = 0 \\ \sf - x \cancel{ + y} = - 2 \\ \sf \sf 3x - x = 0 - 2 \\ \sf 2x = - 2 \\ \sf x = \frac{ - 2}{2} \\ \boxed{\sf x = - 1 }\\ \\ \sf - x + y = - 2 \\ \sf - ( - 1) + y = - 2 \\ \sf 1 + y = - 2 \\ \boxed{ \sf y = - 3} \\ \\ \star \: \: \sf P(- 1, - 3)$

• Interseção da reta "s" e "t":

$\sf - x + y = - 2 .(- 1) \\ \sf 2x + y = 10 \\ \sf x \cancel{ - y }= 2 \\ \sf 2x \cancel{+ y} = 10 \\ \sf x + 2x = 10 + 2 \\ \sf 3x = 12 \\ \sf x = \frac{12}{3} \\ \boxed{\sf x = 4 } \\ \\ \sf - x + y = - 2 \\ \sf - 4 + y = - 2 \\ \sf y = - 2 + 4 \\ \boxed{\sf y = 2} \\ \\ \star \: \: \sf P(4, 2)$

• Interseção da reta "r" e "t":

$\sf 3x \cancel{- y }= 0 \\ \sf 2x \cancel{+ y }= 10 \\ \sf 3x + 2x = 0 + 10 \\ \sf 5x = 10 \\ \sf x = \frac{10}{5} \\ \sf x = 2 \\ \\ \sf 2x + y = 10 \\ \sf 2.2 + y = 10 \\ \sf 4 + y = 10 \\ \sf y = 10 - 4 \\ \sf y = 6 \\ \\ \star \: \: \sf P(2, 6)$

Então temos que os pontos que formam esse triângulo são: P(-1,-3), P(4,2) e P(2,4). A partir desses pontos vamos usar o nosso conhecimento de geometria analítica.

• De acordo com a geometria analítica, para calcular a área de um triângulo através do vértices usaremos uma matriz (3 x 3), dada por:

$\begin{bmatrix} \sf x_a & \sf y_a& \sf 1\\ \sf x_b& \sf y_b&\sf 1 \\ \sf x_c & \sf y_c&\sf 1 \end{bmatrix}$

Chamaremos os pontos P de A, B e C, então temos que:

$\sf \begin{cases} \sf A(-1,-3) \rightarrow x _a = - 1 \: \: \: y_a = - 3 \\ \sf B(4,2) \rightarrow x_b = 4 \: \: \: \: y_b = 2 \\ \sf C(2,4) \rightarrow x_c = 2 \: \: \: \: y_c = 4\end{cases}$

Substituindo os dados e calculando o determinante:

$\begin{bmatrix} \sf - 1 & \sf - 3& \sf 1\\ \sf 4& \sf 2&\sf 1 \\ \sf 2 & \sf 4&\sf 1 \end{bmatrix} .\begin{bmatrix} \sf - 1 & \sf - 3\\ \sf 4& \sf 2 \\ \sf 2 & \sf 4 \end{bmatrix} \\ \\ \sf D = ( - 1).2.1 + ( - 3).1.2 + 1.4.4 - (2.2.1 + 4.1.( - 1) + 1.4.( - 3)) \\ \sf D = - 2 - 6 + 16 - (4 - 4 - 12) \\ \sf D = - 8 + 16 - ( - 12) \\ \sf D = 8 + 12 \\ \boxed{\sf D = 20}$

Por fim devemos substituir esse

determinante na fórmula da área de um triângulo.

$\sf \sf A = \frac{|D|}{2} \\ \sf \sf A = \frac{|20|}{2} \\ \sf \sf A = \frac{20}{2} \\ \sf \boxed{\sf A = 10 \: u.a}$

Espero ter ajudado