Question

Calcule a área do triângulo de vértices A (4,3), B (0, 7) e C (2, 1)

Answer 1

Olá, boa noite ◉‿◉.

Vamos fazer essa questão de duas maneiras, a primeira será pelo método convencional e a segunda será feita através de macete.

Primeira maneira:

Para calcular a área de um triângulo através do vértices, devemos montar um DETERMINANTE (3x3) que possui a seguinte estrutura:

$\large\begin{bmatrix}xa&ya&1 \\ xb&yb&1 \\ xc&yc&1\end{bmatrix}$

Onde esses elementos representam os valores das abscissas e ordenadas dos pontos A, B e C. Sabendo disso vamos organizar tais dados:

$\begin{cases}A (4,3) \rightarrow xa = 4 \: \: \: \: ya = 3 \\ B (0, 7) \rightarrow xb = 0 \: \: \: \: yb = 7 \\ C (2, 1) \rightarrow xc = 2 \: \: \: \: yc = 1\end{cases}$

Substituindo e calculando através do método de Sarrus:

$\begin{bmatrix}4&3&1 \\ 0&7&1 \\ 2&1&1\end{bmatrix}.\begin{bmatrix}4&3 \\ 0&7 \\ 2&1\end{bmatrix} \\ \\ D = 4.7.1 + 3.1.2 + 1.0.1 - (2.7.1 + 1.4.1 + 1.0.3) \\ D = 28 + 6 + 0 - (14 + 4 + 0) \\ D = 34 - 18 \\ \boxed{D = 16}$

Substituindo na fórmula da área:

$A = \frac{1}{2} .(|D|) \\ \\ A = \frac{1}{2} .16 \\ \\ A = \frac{16}{2} \\ \\ \boxed{A = 8 \: u.a}$

Temos então a área desse triângulo ↑.

Segunda maneira:

Primeiro você monta um determinante com os três pontos um em baixo do outro e no final repete os números do primeiro ponto, para calcular você deve multiplica e somar os elementos das "diagonais principais".

$\begin{bmatrix} \red4&3 \\ \red0& \red7 \\ \red2& \red1 \\ 4& \red3\end{bmatrix} \\ \\ D_{p} = 4.7 + 0.1 + 2.3 \\ D_p = 28 + 0 + 6 \\ \boxed{D_p = \ 34}$

Agora você faz a mesma coisa que fizemos anteriormente, só que dessa vez a diagonal é a secundária:

$\begin{bmatrix}4 & \purple3 \\ \purple0& \purple7 \\ \purple2& \purple1 \\ \purple4& 3\end{bmatrix} \\ \\ D_{s} = 0.3 + 2.7 + 4.1 \\ D_s= 0+ 14+ 4\\ \boxed{D_s= \ 18}$

Por fim subtraia a principal da secundária e jogue o resultado na fórmula da área de um triângulo.

$D_{p} - D_{s} = 34 - 18 \\ \boxed{ D_{p} - D_{s} = 16}$

Substituindo:

$A = \frac{1}{2} .(|D_{p} - D_{s}| ) \\ \\ A = \frac{1}{2}.(16) \\ \\ A = \frac{16}{2} \\ \\ \boxed{A = 8 \: u.a}$

Espero ter ajudado

Bons estudos ♥️