Question

Calcule a área do triângulo de vértices A(0, 0), B(3, 0) e C(0, 4)

Answer 1

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$\large\boxed{\begin{array}{l}\sf Seja~A(x_A,y_A),B(x_B,y_B)~e~C(x_C,y_C)\\\sf os~v\acute ertices~de~um~tri\hat angulo~no~plano~cartesiano.\\\sf A~\acute area~deste~tri\hat angulo~\acute e~dada~por\\\sf A=\dfrac{|det~M|}{2}\\\sf onde\\\sf M=\begin{vmatrix}\sf x_A&\sf y_A&\sf1\\\sf x_B&\sf y_B&\sf1\\\sf x_C&\sf y_C&\sf1\end{vmatrix}\end{array}}$

$\Large\boxed{\begin{array}{l}\sf A(0,0)~~B(3,0)~~C(0,4)\\\sf M=\begin{vmatrix}\sf0&\sf0&\sf1\\\sf3&\sf0&\sf1\\\sf0&\sf4&\sf1\end{vmatrix}\\\sf det~M=0\cdot(0-4)-0\cdot(3-0)+1\cdot(12-0)\\\sf det~M=12\\\sf A=\dfrac{|det~M|}{2}\\\sf A=\dfrac{|12|}{2}\\\sf A=\dfrac{12}{2}\\\sf A=6~u\cdot a\end{array}}$

Answer 2

✅ Após ter resolvido todos os cálculos, concluímos que a área do referido triângulo é:

             $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf S = 6\:u.a\:\:\:}} \end{gathered} }$

Sejam os vértices do triângulo:

            $\large\begin{cases}A(0, 0)\\B(3, 0)\\C(0, 4) \end{cases}$

Sabendo que a área "S" de um triângulo a partir de seus vértices pode ser calculada obtendo-se a metade do módulo do determinante da matriz formada pelas coordenadas dos vértices do triângulo, ou seja:

      $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}S = \frac{|\det{M}|}{2} \end{gathered} }$

Se "M" é a seguinte matriz:

       $\large\displaystyle\begin{gathered}M = \begin{pmatrix}0 & 0 & 1\\3 & 0 & 1\\0 & 4 & 1\end{pmatrix}\end{gathered}$

Então:

       $\large\displaystyle\begin{gathered}M = \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1\\3 & 0 & 1\\0 & 4 & 1\end{vmatrix}\begin{matrix}0 & 0\\3 & 0\\0 & 4 \end{matrix}\end{gathered}$

Calculando o determinante, temos:

          $\large\displaystyle\begin{gathered}\det{M} = 0\cdot0\cdot1 + 0\cdot1\cdot0 + 1\cdot3\cdot4 - 0\cdot3\cdot1 - 0\cdot1\cdot4 - 1\cdot0\cdot0 \end{gathered}$

$\large\displaystyle\begin{gathered}\det{M} = 0 + 0 + 12 - 0 - 0 - 0 \end{gathered}$

$\large\displaystyle\begin{gathered}\det{M} = 12 \end{gathered}$

Então, temos:

          $\large\displaystyle\begin{gathered}S = \frac{|12|}{2} = \frac{12}{2} = 6\:u.a \end{gathered}$

Portanto, a área do triângulo é:

                      $\large\displaystyle\begin{gathered}S = 6\:u.a \end{gathered}$

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Solução gráfica: