Question

Calcule a area do triangulo ABC se A=(3,2,5), B (5,-3,7) e C= (0,-4,-2)

Answer 1

Olá

$A\triangle~=~ \frac{1}{2}\cdot|\vec{AB} ~x~\vec{AC}|$


Criando os vetores

$\vec{AB}=B-A=(2,-5,2 )\\ \\\vec{AC}=C-A=(-3,-6,-7)$


Faz o produto vetorial

i          j          k          i          j
2        -5        2          2        -5 
-3       -6        -7        -3        -6       

(35i - 6j - 12k) - (-14j -12i + 15k)
47i + 8j -27k



Calculando o módulo

$|\vec{AB}~x~\vec{AC}|= \sqrt{(47)^2+(8)^2+(-27)^2} \\ \\ |\vec{AB}~x~\vec{AC}|= \sqrt{2209+64+729} \\ \\ |\vec{AB}~x~\vec{AC}|= \sqrt{3002}$


$A\triangle~=~ \frac{1}{2}\cdot|\vec{AB} ~x~\vec{AC}| \\ \\ A\triangle~=~ \frac{1}{2}\cdot \sqrt{3002} \\ \\ A\triangle= \frac{ \sqrt{3002} }{2} \\ \\ \boxed{\boxed{A\triangle~\approx~27,39}}$