Question

Calcule a área do triângulo ABC, cujos vértices são A(2,3); B(-1,5) e C(4,-1)

Answer 1

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$\large\green{\boxed{\blue{\sf~~~A = 4~u.a.~~~}}}$

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$\bf\large\green{\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad}}$

$\green{\rm\underline{EXPLICAC_{\!\!\!,}\tilde{A}O\ PASSO{-}A{-}PASSO\ \ \ }}$✍

❄☃ $\sf(\gray{+}~\red{cores}~\blue{com}~\pink{o}~\orange{App}~\green{Brainly})$ ☘☀

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☺lá, Kayo, como tens passado nestes tempos de quarentena⁉ E os estudos à distância, como vão⁉ Espero que bem❗ Acompanhe a resolução abaixo. ✌

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☔ A forma mais prática para encontrar a área neste tipo de exercício é dada por um estratégia matricial em que

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$\large\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl}&&\\&\orange{\rm A = \dfrac{|~D~|}{2} }&\\&&\\\end{array}}}}}$

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☔ Sendo D a determinante da matriz e a nossa matriz da forma

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$\large\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl}&&\\&\orange{\rm C_{3,3}=\left[\begin{array}{ccc}x_a&y_a&1\\\\x_b&y_b&1\\\\x_c&y_c&1\\\end{array}\right]}&\\&&\\\end{array}}}}}$

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✋ Observe que esta determinante é a mesma utilizada para verificar condição de colinearidade entre 3 pontos (caso a Determinante seja igual à zero então os pontos são colineares). ✋

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☔ Segundo a regra de Sarrus temos que para encontrarmos a determinante de uma matriz $A_{mn}$ tal que m=n (ou seja, uma matriz quadrada) devemos adicionar n-1 colunas à direita da matriz sendo elas cópias das n-1 primeiras colunas de tal forma que nossa determinante será a soma das n diagonais multiplicativas, começando no termo $a_{11}$, subtraído da soma das outras n diagonais multiplicativas, começando no termo $a_{2n}$ das colunas repetidas.

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☔ Começaremos escrevendo nossas n-1 colunas a mais à direita.

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$\blue{C_{3,3}=\left[\begin{array}{ccc}2&3&1\\\\-1&5&1\\\\4&-1&1\\\end{array}\right] \left[\begin{array}{cc}2&3\\\\-1&5\\\\4&-1\\\end{array}\right]}$

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☔ Vamos registrar as diagonais multiplicativas que iremos somar. Esta será nossa primeira diagonal multiplicada a ser somada.

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$\blue{\left[\begin{array}{ccc}2&.&.\\\\.&5&.\\\\.&.&1\\\end{array}\right] \left[\begin{array}{cc}.&.\\\\.&.\\\\.&.\\\end{array}\right]}$

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$\blue{\sf Det(C) = 2 \cdot 5 \cdot 1 + }$

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☔ Esta será nossa primeira diagonal multiplicada a ser subtraída.

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$\blue{\left[\begin{array}{ccc}.&.&.\\\\.&.&.\\\\.&.&1\\\end{array}\right] \left[\begin{array}{cc}.&3\\\\-1&.\\\\.&.\\\end{array}\right]}$

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$\blue{\sf Det(C) = 2 \cdot 5 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 4 + 1 \cdot (-1) \cdot (-1) - 1 \cdot 5 \cdot 4 - }$

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☔ Desta forma obtemos a equação e o resultado procurado:

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$\blue{\sf Det(C) = 2 \cdot 5 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 4 + 1 \cdot (-1) \cdot (-1) - 1 \cdot 5 \cdot 4 - 3 \cdot (-1) \cdot 1 - 2 \cdot 1 \cdot (-1)}$

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$\blue{\sf Det(C) = 10 + 12 + 1 - 20 - (-3) - (-2)}$

$\blue{\sf Det(C) = 8}$

$\large\gray{\boxed{\blue{\sf~~~Det(C) = 8~~~}}}$

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☔ Portanto temos que

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➡ $\sf\blue{ A = \dfrac{8}{2} }$

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$\large\green{\boxed{\blue{\sf~~~A = 4~u.a.~~~}}}$ ✅

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✋ Uma segunda forma de encontrarmos a área do nosso triângulo seria através da pseudo-determinante (pseudo pois não é uma matriz quadrada) pelo Método de Sarrus da matriz geral para áreas de um polígono convexo qualquer dado seus vértices na forma de pares ordenados

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$\large\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl}&&\\&\orange{\rm C_{2,n} = \left[\begin{array}{ccclc}x_a&x_b&x_c&...&x_n\\\\y_a&y_b&y_c&...&y_n\end{array}\right] \left[\begin{array}{c}x_a\\\\y_a\end{array}\right]}&\\&&\\\end{array}}}}}$

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✋ Uma terceira forma (prometo que essa é a última que eu vou escrever rs) de encontrarmos a área do nosso triângulo seria através do semi-perímetro (Ps), que seria calculado como sendo a metade da soma das distâncias entre os pontos dadas pela equação

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$\rm\large\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl} & & \\ & \orange{ d_{a, b} = \sqrt{(x_{b}  - x_{a})^{2}  + (y_{b}  - y_{a})^{2}} } & \\ & & \\ \end{array}}}}}$

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de forma que

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$\rm\large\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl} & & \\ & \orange{ A = \sqrt{P_s \cdot (P_s - d_{a, b}) \cdot (P_s - d_{a, c}) \cdot (P_s - d_{b, c})} } & \\ & & \\ \end{array}}}}}$

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$\bf\large\red{\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}$

✈ Distância entre Pontos (https://brainly.com.br/tarefa/36725936)

$\bf\large\red{\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad}}$✍

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$\bf\large\red{\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}$☁

☕ $\bf\large\blue{Bons\ estudos.}$

($\orange{D\acute{u}vidas\ nos\ coment\acute{a}rios}$) ☄

$\bf\large\red{\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad }}\LaTeX$✍

❄☃ $\sf(\gray{+}~\red{cores}~\blue{com}~\pink{o}~\orange{App}~\green{Brainly})$ ☘☀

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$\gray{"Absque~sudore~et~labore~nullum~opus~perfectum~est."}$