Calcule a área do triângulo ABC, cujos vértices são: A(2, 3); B(-1, 5) e C(4, -1
Soluções para a tarefa
Resposta:
Dados três pontos não-alinhados
\mathsf{A(x_A,\,y_A),~~B(x_B,\,y_B),~~C(x_C,\,y_C),}A(x
A
,y
A
), B(x
B
,y
B
), C(x
C
,y
C
),
a área do triângulo com vértices nestes pontos é dada por
\textsf{\'Area}=\mathsf{\dfrac{1}{2}\cdot \big|D\big|}
A
ˊ
rea=
2
1
⋅
∣
∣
∣
D
∣
∣
∣
sendo \mathsf{D}D o resultado do cálculo deste determinante:
\begin{gathered}\mathsf{D=det\!\begin{bmatrix} \mathsf{x_A}&\mathsf{y_A}&\mathsf{1}\\ \mathsf{y_B}&\mathsf{y_B}&\mathsf{1}\\ \mathsf{y_C}&\mathsf{y_C}&\mathsf{1} \end{bmatrix}}\end{gathered}
D=det
⎣
⎢
⎡
x
A
y
B
y
C
y
A
y
B
y
C
1
1
1
⎦
⎥
⎤
________
Para os pontos desta tarefa,
\mathsf{A(3,\,-4),~~B(-2,\,3),~~C(4,\,5),}A(3,−4), B(−2,3), C(4,5),
Calculando o determinante:
(pela Regra de Sarrus)
\begin{gathered}\mathsf{D=det\!\begin{bmatrix} \mathsf{3}&\mathsf{-4}&\mathsf{1}\\ \mathsf{-2}&\mathsf{3}&\mathsf{1}\\ \mathsf{4}&\mathsf{5}&\mathsf{1} \end{bmatrix}}\\\\\\ \begin{array}{rrcrcr} \mathsf{D=}&\mathsf{3\cdot 3\cdot 1}&\!\!+\!\!&\mathsf{(-4)\cdot 1\cdot 4}&\!\!+\!\!&\mathsf{1\cdot (-2)\cdot 5}\\ &\mathsf{-4\cdot 3\cdot 1}&\!\!-\!\!&\mathsf{5\cdot 1\cdot 3}&\!\!-\!\!&\mathsf{1\cdot (-2)\cdot (-4)} \end{array} \end{array}\end{gathered}
\begin{gathered}\begin{array}{rrcrcr} \mathsf{D=}&\mathsf{9}&\!\!\!-\!\!\!&\mathsf{16}&\!\!\!-\!\!\!&\mathsf{10}\\ &\mathsf{-12}&\!\!\!-\!\!\!&\mathsf{15}&\!\!\!-\!\!\!&\mathsf{8} \end{array}\\\\\\ \mathsf{D=-17-35}\\\\ \mathsf{D=-52\qquad\quad\checkmark}\end{gathered}
D=
9
−12
−
−
16
15
−
−
10
8
D=−17−35
D=−52✓
A área do triângulo é
\begin{gathered}\textsf{\'Area}=\mathsf{\dfrac{1}{2}\cdot \left|-52\right|}\\\\\\ \textsf{\'Area}=\mathsf{\dfrac{1}{2}\cdot 52}\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\textsf{\'Area}=\mathsf{26~u.a.} \end{array}}\quad\longleftarrow\quad\textsf{esta \'e a resposta.}\end{gathered}
A
ˊ
rea=
2
1
⋅∣−52∣
A
ˊ
rea=
2
1
⋅52
A
ˊ
rea=26 u.a.
⟵esta
e
ˊ
a resposta.