Question

Calcule a área do quadrilatero de vertices A(4,0), B(6,2), C(2,4), D(0,2)

Answer 1

Observe a imagem abaixo para melhor entendimento.

Se traçarmos uma diagonal nos pontos B e D (poderia ser a diagonal dos pontos A e C, tanto faz), teremos os dois triângulos ABD e BCD (ou ABC e ACD). Portanto, a área do quadrilátero será a soma das áreas desses dois triângulos.

Sendo que a área do triângulo é a metade do módulo do Determinante de suas coordenadas, ou seja:

$A_{T}=\dfrac{1}{2}\cdot |D|$

Dessa forma, para acharmos a área do quadrilátero ABCD, primeiramente encontramos as áreas dos dois triângulos formados:


Área do Triângulo ABD:

$D_{1}=\begin{vmatrix} 4& 0 & 1\\ 6& 2 & 1\\ 0& 2 & 1 \end {vmatrix}\begin{matrix} 4& 0\\ 6& 2\\ 0& 2 \end{matrix}\ =\ 8+0+12-\left(0+8+0\right)= 20-8=12$


Assim, a área do triângulo ABD é:

$\dfrac{1}{2}\cdot 12=6$


Área do Triângulo BCD:

$D_{2}=\begin{vmatrix} 6& 2 & 1\\ 2& 4 & 1\\ 0& 2 & 1 \end {vmatrix}\begin{matrix} 6& 2\\ 2& 4\\ 0& 2 \end{matrix}\ =\ 24+0+4-\left(0+12+4\right)= 28-16=12$


Assim, a área do triângulo BCD é:

$\dfrac{1}{2}\cdot 12=6$


Logo, a área do quadrilátero é:
6 + 6 = 12 unidades de área.

Obs.: Seguindo o mesmo raciocínio vc poderia calcular direto a área do quadrilátero achando a metade da soma dos determinantes encontrados:

$A_{Q}=\dfrac{1}{2}\cdot |D_{1}|\ +\ \dfrac{1}{2}\cdot |D_{2}|\ =\ \dfrac{1}{2}\cdot \left(|D_{1}|+|D_{2}|\right)=\\ \\ \\ \dfrac{1}{2}\cdot \left(12+12\right)=\dfrac{1}{2}\cdot 24=12$

Answer 2

Resposta:

Explicação passo a passo:

Observe a imagem abaixo para melhor entendimento.

Se traçarmos uma diagonal nos pontos B e D (poderia ser a diagonal dos pontos A e C, tanto faz), teremos os dois triângulos ABD e BCD (ou ABC e ACD). Portanto, a área do quadrilátero será a soma das áreas desses dois triângulos.

Sendo que a área do triângulo é a metade do módulo do Determinante de suas coordenadas, ou seja:

Dessa forma, para acharmos a área do quadrilátero ABCD, primeiramente encontramos as áreas dos dois triângulos formados:

Área do Triângulo ABD:

Assim, a área do triângulo ABD é:

Área do Triângulo BCD:

Assim, a área do triângulo BCD é:

Logo, a área do quadrilátero é:

6 + 6 = 12 unidades de área.