Question

Calcule a área do quadrado ABCD, sendo A(-4,3) e B(1,15) dois vértices consecutivos

Answer 1

vamos achar a equação da reta que passa pelos pontos (-4,3) e (1 ,15): 


y-3 = [(15-3)/(1+4)](x+4) ou 

y - 3 = (12/5) (x+4) 

vamos deixa-la sob essa forma. O coefieinete angular dessa reta é 12/5. . Sabemos que toda reta perpendicular a ela deve ter coeficiente angular o inverso desse valor e de sinal contrario ou seja -5/12. 
Vamos agora encontrar a equação da reta que passa pelo ponto (-4,3) e tem coeficiente angular ,-5/12, porque o outro lado do quadrado obrigatoriamente estara sobre essa reta. A eq. dessa reta fica: 

y-3 = (-5/12)(x-+4) 

Porem o lado do quadrado como vc calculou é 13 então vamos eterminar todos os pontos cuja distancia ao ponto A seja 13 ou seja : 

(x +4)^2 +(y-3)^2=13 

que é a equação de uma circunferencia. existem pois infinitos pontos de distancia 13 ao ponto A porem o lado do quadrado deve estar sobre a reta perpendicular à reta definida por A e B cuja eq. ja encontramos. Temos assim um sistema de duas equações a duas incognitas ou seja : 


(x +4)^2 +(y-3)^2=13^2 


y-3 = (-5/12)(x-+4) 

a forma mais facil de resolve-lo é substituir y-3 da ultima equação na primeira ou seja 

(x+4)^2 + [25/144} (x+4)^2 = 13 ^2 ou 

(x+4)^2 [1 +25/144] =13 ou 

(x+4)^2 (169/144) =13^2 ou 


(x+4)^2 = 13^2.144/169= 144 

(x+4)^2 = 144 extraindo a raiz quadrada de ambos os membros 

x+4 = +/- 12 
x = -4+/-12 

x1= -16 

x2= 8 

os respectivos valores de y se obtem da equção da reta: 


y-3 = (-5/12)(x-+4) 

y1 - 3 = -5/12. (-12) 

y1= 3-+5= 8 


y2-3 = (-5/12) 12 

y2= 3 -5 


y2= -2 


assim como era de se esperar ha duas soluções o quadrado pode ser construido acima ou abaixo da reta e o vertice D , fica (-16 ,8) ou (8,-2) 

De forma analogoa obteriamos o quarto vértice C !!!!! 


faltou uma complementação que não tive tempo de fazer quando postei a solução mas que agora vai: 

Uma reta divide o plano em 2 regiões >, uma acima e outra abaixo. Voce tem dois pontos D que satisfazem o problema então resta saber em que região se encontra o poto, se acima ou abaixo. E por que isso? porque vc vai obter dois pares ordenados tambem para o outro ponto C e precisa sabem quem corresponde a quem pois vc poderia dar um ponto D acima e um ponto C abaixo o que evidentemente não daria um quadrado. Como fazer essa verificação: consideremos a equação da reta ab ou seja a do lado do quadrado: 


y - 3 = (12/5) (x+4) 

trnapondo tudo para o primeiro membro fica: 

y-3 -(12/5).(x+4) = 0 

Se vc substitui x e y por dois valores que satisfaçam a equação ou seja que de zero o primeiro membro significa que o ponto está sobre a reta. Vamos substituir x e y pelos valores das coordenadas do ponto D encontrado e que não está sobre a reta, ou seja o primeiro membro vai dar um certo numero diferente de zero: 

x1=--16 y1=8 fica: 

8-3 -12/5(-16+4) = 8 - 3 + 12.12/5= 33,8 

agora utilizemos o outro ponto: 


x2 = 8 y2 = -2 


-2 -3 - 12/5(8+4) = -2-3 - 12.12/5= -33,8 


Vejamos agora o ponto x=0 e y=0 (a origem) 

0-3 -12/5( 0 +4) = -41,8 


assim o ponto (8, -2) e a origem (0,0) estão de um mesmo lado da reta porque os resultados deram ambos do mesmo sinal.O ponto (-16,8 ) está de lado oposto a origem. Quando vc encontrar os outros dois pontos através desse criterio poderá determinar a localização de cada ponto. 


depois da substituição dos pontos (-16 8) e (8,-2) obteve-se valores iguais e de sinais contrários. De sinais contrarios ja era esperado porém os valore