Question

Calcule a área do pentágono ABCDE dados A(0,0), B(2,0), C(4,2), D(1,6) e D(0,4)

Answer 1

• Para calcular a área desse pentágono, vamos partir do princípio do cálculo da área de um triângulo através dos vértices, pois o pentágono pode ser dividido em 3 triângulos, ou seja, vamos calcular a área de cada um desses triângulos e ao final somar todas elas.

• Cálculo da área do triângulo ABC:

Para calcular a área de um triângulo através do vértices, usamos a condição de alinhamento dada por:

$\sf \begin{pmatrix} \sf xa&\sf ya& \sf 1 \\ \sf xb& \sf yb&\sf1 \\ \sf xc& \sf yc& \sf1 \end{pmatrix}$

Onde esses elementos (xa, xb....) representam os valores das abscissas e ordenadas dos pontos em questão.

Sabendo disso, vamos indentificar os valores das abscissas e ordenadas do pontos A, B e C, já que são os ponto em questão nesse momento.

$\begin{cases} \sf A(0,0) \rightarrow x_a = 0 \: \: \: \: y_a =0 \\ \sf B(2,0) \rightarrow x_b = 2 \: \: \: \: y_b = 0 \\ \sf C(4,2) \rightarrow x_c = 4 \: \: \: \: y_c = 2\end{cases}$

Substituindo na fórmula e calculando o determinante através do método de Sarrus:

$\sf \begin{pmatrix} \sf 0&\sf 0& \sf 1 \\ \sf 2& \sf 0& \sf1 \\ \sf 4& \sf 2& \sf1 \end{pmatrix}. \sf \begin{pmatrix} \sf 0&\sf 0 \\ \sf 2& \sf 0 \\ \sf 4& \sf 2 \end{pmatrix} \\ \sf D_{abc} = 0.0.1 + 0.1.4 + 1.2.2 - (4.0.1 + 2.1.0 + 1.2.0) \\ \sf D_{abc}= 0 + 0 + 4 - (0 + 0 + 0) \\ \boxed{\sf D_{abc}= 4}$

Reserve esse valor e parta para o próximo cálculo.

• Cálculo da área do triângulo ACD:

Do mesmo jeito que fizemos com o anterior, faremos com esse, portanto pouparei explicações.

Dados:

$\begin{cases} \sf A(0,0) \rightarrow x_a = 0 \: \: \: \: y_a =0 \\ \sf C(4,2) \rightarrow x_c = 4 \: \: \: \: y_c = 2 \\ \sf D(1,6) \rightarrow x_d = 1 \: \: \: y_d = 6\end{cases}$

Substituindo e calculando:

$\sf \begin{pmatrix} \sf 0&\sf 0& \sf 1 \\ \sf 4& \sf 2& \sf1 \\ \sf 1& \sf 6& \sf1 \end{pmatrix}.\sf \begin{pmatrix} \sf 0&\sf 0 \\ \sf 4& \sf 2 \\ \sf 1& \sf 6 \end{pmatrix} \\ \sf D_{acd} = 0.2.1 + 0.1.1 + 1.4.6 - (1.2.1 + 6.1.0 + 1.4.0) \\ \sf D_{acd} = 0 + 0 + 24 - (2 + 0 + 0) \\ \sf D_{acd} = 24 - 2 \\ \boxed{\sf D_{acd} = 22}$

• Cálculo da área do triângulo ADE:

Seguindo a mesma lógica.

Dados:

$\begin{cases} \sf A(0,0) \rightarrow x_a = 0 \: \: \: \: y_a =0 \\ \sf \sf D(1,6) \rightarrow x_d = 1 \: \: \: y_d = 6 \\ \sf E(0,4) \rightarrow x_e = 0 \: \: \: \: y_e =4 \end{cases}$

Substituindo e calculando:

$\sf \begin{pmatrix} \sf 0&\sf 0& \sf 1 \\ \sf 1& \sf 6& \sf1 \\ \sf 0& \sf 4& \sf1 \end{pmatrix}.\sf \begin{pmatrix} \sf 0&\sf 0\\ \sf 1& \sf 6 \\ \sf 0& \sf 4 \end{pmatrix} \\ \sf D_{ade} = 0.6.1 + 0.1.0 + 1.1.4 - (0.6.1 + 4.1.0 + 1.1.0) \\ \sf D_{ade} = 0 + 0 + 4 - (0 + 0 + 0) \\ \boxed{\sf D_{ade} = 4}$

• Para finalizar e encontrar a área do pentágono, basta você substituir na fórmula da área de um triângulo através de seus vértices. (Lembre-se de colocar a soma dos determinantes na fórmula).

$\sf A = \frac{1}{2}.(|D_{abc}|+|D_{acd}|+|D_{ade}| \\ \\ \sf A = \frac{1}{2}.( |4| +|22|+|4| \\ \\ \sf A = \frac{1}{2} .(4 + 22 + 4) \\ \\ \sf A = \frac{1}{2} .(30) \\ \\ \sf A = \frac{30}{2} \\ \\ \boxed{ \sf A = 15u.a}$

Espero ter ajudado.