Question

Calcule a área do menor dos segmentos circulares determinados por um lado:
a) de um triangulo equilátero inscrito em um circulo de raio 6 m.
b) de um quadrado inscrito em um circulo de raio 6 m.
c) de um hexágono regular inscrito em um circulo de raio 12 cm.

Por favor se poderem fazer as figuras também eu agradeço.

Answer 1

a) Observe a figura abaixo.

Vamos chamar de x o lado do triângulo equilátero inscrito na circunferência.

Como o raio da circunferência mede 6 m, então pela Lei dos Cossenos, temos que:

x² = 6² + 6² - 2.6.6.cos(120)

x² = 36 + 36 + 36

x² = 3.36

x = 6√3 m.

A área dos segmentos circulares é igual à área da circunferência menos a área do triângulo equilátero.

Assim,

$A = \pi.6^2 - \frac{(6\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4}$

A = 36π - 27√3 m².

b) Perceba que o diâmetro da circunferência coincide com a diagonal do quadrado.

Sendo x o lado do quadrado, temos que:

12 = x√2

x = 6√2 m.

Portanto, a área dos segmentos circulares é igual a:

A = π.6² - (6√2)²

A = 36π - 72 m².

c) A área de um hexágono é igual a 6 vezes a área de um triângulo equilátero.

Como o raio da circunferência mede 12 cm, então o lado do hexágono também mede 12 cm.

Assim, a área dos segmentos circulares é igual a:

$A = \pi . 12^2 - 6.\frac{12^2\sqrt{3}}{4}$

A = 144π - 216√3 cm².