Question

Calcule a área do losango que tem três vértices em A(6,8), B(3,4) e C(6,0). URGENTE!!!!

Answer 1

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que a área do referido losango é:

   $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf A_{L} = 24\:u.\:a.\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam os três vértices do losango:

            $\Large\begin{cases} A = (6, 8)\\B = (3, 4)\\C = (6, 0)\\A_{L} = \:?\end{cases}$

Observe que o polígono referido no enunciado é um losango. Desta forma, temos a primeira e mais importante propriedade dos losangos que nos diz:

"Losango é todo paralelogramo cujas diagonais se cruzam perpendicularmente pelos respectivos pontos médios."

A partir desta propriedade, decorre outra tão importante quanto a primeira. Esta segunda propriedade nos diz:

"Todos os lados do losango são congruentes."

Além disso, devemos saber que o ponto médio "M" das diagonais do referido losango pode ser calculado pela seguinte fórmula:

     $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} M = \left(\frac{x_{A} + x_{C}}{2},\,\frac{y_{A} + y_{C}}{2}\right)\end{gathered} }$

Desta forma, podemos resolver esta questão, sem calcular o quarto vértice, empregando apenas vetores, da seguinte forma:

   $\large \text { \begin{aligned}A_{L} & = \frac{d\cdot D}{2}\\& = \frac{{\!\diagup\!\!\!\!2}\cdot\| \overrightarrow{BM}\|\cdot\| \overrightarrow{AC}\|}{\!\diagup\!\!\!\!2}\\& = \| \overrightarrow{BM}\|\cdot\| \overrightarrow{AC}\|\\& = \|M - B\|\cdot\|C - A\|\\& = \left\| \left(\frac{x_{A} + x_{C}}{2},\,\frac{y_{A} + y_{C}}{2}\right) - (x_{B},\,y_{B})\right\|\cdot\| (x_{C},\,y_{C}) - (x_{A},\,y_{A})\|\\\end{aligned} }$

Chegando neste, devemos substituir os valores das coordenadas na equação e continuar a resolução. Desta forma, temos:

$\Large \text { \begin{aligned}A_{L} & = \left\| \left(\frac{6 + 6}{2},\,\frac{8 + 0}{2}\right) - (3, 4)\right\|\cdot\| (6, 0) - (6, 8) \|\\& = \|(6, 4) - (3, 4) \|\cdot\|(6, 0) - (6, 8) \|\\& = \| (6 - 3,\,4 - 4) \|\cdot\| (6 - 6,\,0 - 8) \|\\& = \| (3, 0) \|\cdot\| (0, -8) \|\\& = \sqrt{3^{2} + 0^{2}}\cdot\sqrt{0^{2} + (-8)^{2}}\\& = \sqrt{9}\cdot\sqrt{64}\\& = 3\cdot8\\& = 24\end{aligned} }$

✅ Portanto, a área do referido losango é:

  $\Large\displaystyle\begin{gathered} A_{L} = 24\:u.\:a.\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

Saiba mais:

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$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

Answer 2

O valor encontrado para área deste losango é de 24 u.a. (unidades de área)

Como faremos para calcular a área de um triângulo dadas as coordenadas de seus vértices?

Considere o triângulo de vértices A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC), veja a sua representação em um plano cartesiano:

A partir dessa representação podemos dizer que o cálculo da área de um triângulo através dos conhecimentos da geometria analítica é dado pelo determinante dos vértices dividido por dois, ou seja a metade da determinante.

Como calcular a determinante de uma matriz?

Normalmente calculamos em três passos:
Primeiro passo, multiplicamos os valores da diagonal principal;

Segundo passo, multiplicamos os valores da diagonal secundária;

Terceiro passo, subtraímos o produto da diagonal secundária do produto da diagonal principal.

(A área de um triângulo é a metade da diferença do produto de suas diagonais)

Como se comporta o losango?
- Os lados opostos são congruentes;

- Os ângulos opostos são congruentes;

- Os seus ângulos adjacentes são suplementares, ou seja, a sua soma resulta em 180°;

- As suas diagonais encontram-se em seus pontos médios.

Já para calcular a área de um LOSANGO, ou um paralelogramo qualquer, dados

Fizemos o cálculo da determinante de três de seus vértices e somamos.

O resultado desta adição será a sua área.

Basta enxergar geometricamente um quadrado ou um quadrilátero qualquer, sabemos que a sua metade é, OBRIGATORIAMENTE, um triângulo. Bem, de posse deste conhecimento, basta então multiplicarmos por dois as "áreas" encontradas três vértices e teremos a área de um quadrilátero, no nosso caso um losango.

Dados do exercício:
Vértices em A(6,8), B(3,4) e C(6,0)

$A=\dfrac{1}{2}\cdot \left[\begin{array}{ccc}6&8&1\\3&4&1\\6&0&1\end{array}\right] \\\\\\A=\dfrac{1}{2} \cdot(24+48+00-(24+0+24)\\\\\\A=\dfrac{1}{2} \cdot(72-48)\\\\\\A=\dfrac{1}{2} \cdot(24)\\\\\\A=12u.a.$

Logo a área determinada pelo losango é de 24 u.a. (unidades de área), ou seja, duas vezes a área do "triângulo" calculado