Question

Calcule a área do conjunto de todos os (x,y) tais que 4x²+y²≤ 1.

Answer 1

Seja β o conjunto:
β = {(x, y) ∈ ℝ: 4x² + y² ≤ 1}

Podemos notar que β é uma elipse e que a sua equação pode ser escrita na forma:
(x/a)² + (y/b)² = 1,
Sendo a sua área dada por:
A = πab

Neste caso, a = ½ e b = 1, logo A = π/2.

Se não puder utilizar a fórmula, terá de calcular o integral duplo, como farei de seguida.

Sabe-se que a área de β é dada por:
∬ᵦ dS

Podemos então utilizar a seguinte transformação, adaptado das coordenadas polares:
x = (ρ/2)cos θ
y = ρsen θ

Note que se tem:
4(ρ/2)²cos² θ + ρ²sen² θ = ρ²

Portanto, temos os limites:
• 0 < ρ < 1
• 0 < θ < 2π

Assim, definimos uma função g⃗: [0, 1] × [0, 2π] → ℝ² tal que g⃗(ρ, θ) = ((ρ/2)cos θ, ρsen θ) = (x, y). Diferenciando, obtemos a matriz jacobiana Dg⃗ de g⃗:
[½cos θ –(ρ/2)sen θ]
[sen θ …………ρcos θ]

Tem-se então:
det Dg⃗ = ½ρcos² θ + ½ρsen² θ = ρ/2

Portanto, conclui-se que:
dS = dx dy = (ρ/2) dρ dθ

Assim, pelo teorema de Fubini, a área do conjunto é:
2π 1
∫ [ ∫ (ρ/2) dρ ] dθ =
0 0

= π[ρ²/2]₀¹ = π/2, como antes