Question

Calcule a área delimitada pelo eixo x e a função y= x(x+1)(x-2) na região x=[-1,2] .

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos lembrar de algumas propriedades estudadas sobre cálculo integral.

A área de uma região $R$ delimitada pelas funções $f(x)$ e $g(x)$, contínuas e integráveis em um intervalo fechado $[a,~b]$, onde $f(x)\geq g(x)$, é calculada pela integral $\displaystyle{\iint_R\,dA=\int_a^b \int_{g(x)}^{f(x)}\,dy\,dx=\int_a^b f(x)-g(x)\,dx}$.

Observe que no intervalo indicado pelo enunciado, as funções mudam de sinal em pelo menos um ponto, isto é, em algum momento a curva da função estava abaixo do eixo e noutro, acima dele. (Veja a imagem em anexo).

Efetuamos a propriedade distributiva da multiplicação e reescrevemos a equação da curva: $y=x^3-x^2-2x$

No intervalo $[-1,~0]$, $x\cdot(x+1)\cdot(x-2)\geq0$ e no intervalo $[0,~2]$, $0\geq x\cdot(x-1)\cdot(x+2)$.

Então, separamos as integrais utilizando a propriedade: $\exists c\in[a,~b]$ tal que $f(x)$ é contínua em $c$ e $\displaystyle{\int_a^b f(x)\,dx=\int_a^cf(x)\,dx+\int_c^bf(x)\,dx}$.

$\displaystyle{\int_{-1}^0 \int_{0}^{x^3-x^2-2x}\,dy\,dx+\int_0^2 \int_{x^3-x^2-2x}^0\,dy\,dx}\\\\\\ \displaystyle{\int_{-1}^0x^3-x^2-2x\,dx+\int_0^2-(x^3-x^2-2x)\,dx}$

Aplique a linearidade

$\displaystyle{\int_{-1}^0x^3\,dx-\int_{-1}^0x^2\,dx-2\cdot\int_{-1}^0x\,dx-\int_0^2x^3\,dx+\int_0^2x^2\,dx+2\cdot\int_0^2x\,dx}$

Para calcular estas integrais, aplique a regra da potência: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C,~C\in\mathbb{R},~n\neq-1,}$

$\dfrac{x^{3+1}}{3+1}-\dfrac{x^{2+1}}{2+1}-2\cdot\dfrac{x^{1+1}}{1+1}~\biggr|_{-1}^0-\dfrac{x^{3+1}}{3+1}+\dfrac{x^{2+1}}{2+1}+2\cdot\dfrac{x^{1+1}}{1+1}~\biggr|_0^2\\\\\\ \dfrac{x^4}{4}-\dfrac{x^3}{3}-x^2~\biggr|_{-1}^0-\dfrac{x^4}{4}+\dfrac{x^3}{3}+x^2~\biggr|_0^2$

Aplique os limites de integração, de acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo: $\displaystyle{\int_a^b f(x)\,dx=F(x)~\biggr|_a^b=F(b)-F(a)}$, em que $F(x)$ é a antiderivada de $f(x)$.

$\dfrac{0^4}{4}-\dfrac{0^3}{3}-0^2-\left(\dfrac{(-1)^4}{4}-\dfrac{(-1)^3}{3}-(-1)^2\right)-\dfrac{2^4}{4}+\dfrac{2^3}{3}+2^2-\left(-\dfrac{0^4}{4}+\dfrac{0^3}{3}+0^2\right)$

Calcule as potências e some os valores

$-\left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{3}-1\right)-4+\dfrac{8}{3}+4\\\\\\ \dfrac{37}{12}~\bold{u.~a}$

Esta é a área da região compreendida entre o eixo das abscissas e esta curva, neste intervalo.