Question

calcule a area delimitada pelas funções y=x+2 e y= x^2 no intervalo de [ -1, 2]

Answer 1

A área entre duas funções é dada por:
$\displaystyle \int f(x)-g(x)\,dx$ 
se $f(x)\ \textgreater \ g(x)$
logo analisando as funções dadas percebemos que no intervalo dado, x+2 sempre é maior que . Chamaremos:
$x+2=f(x)\\x^2=g(x)$
De modo que a área entre essas duas funções é dada por:
$\displaystyle \int f(x)-g(x)\,dx=\int f(x)dx-\int g(x)\,dx$
calculando no intervalo dado, teremos:

$\displaystyle i)~~~~A=\int\limits_{-1}^{2} x+2\,dx-\int\limits_{-1}^{2}x^2\,dx=\int\limits_{-1}^{2} x+2\,dx+\int\limits_{2}^{-1}x^2\,dx\\\\ii)~~~A=\int\limits_{-1}^{2}x+2\,dx+\int\limits_{2}^{-1}x^2\,dx=\left[\frac{1}{2}x^2+2x\right]_{-1}^{2}+\left[\frac{1}{3}x^3\right]_{2}^{-1}\\\\iii)~~A=\left[2+4-\frac{1}{2}+2\right]+\left[-\frac{1}{3}-\frac{8}{3}\right]\\\\iv)~~A=\frac{15}{2}-\frac{9}{3}=\frac{15}{2}-3=\frac{15-6}{2}=\boxed{\frac{9}{2}U.C^2}$

Onde U.C é unidade de comprimento.
observe as imagens abaixo.