Question

Calcule a área delimitada pelas curvas y = ln x e y = -x/2 + e/2 + 1 e pelo eixo dos x.

Answer 1

Bom dia, iremos primeiramente determinar o ponto de intersecção. Sabemos que ambas as funçoes Para isso, devemos igualar as duas funções.

$lnx = \frac{-x}{2} + \frac{e}{2} + 1$

$lnx - ( \frac{-x}{2} + \frac{e}{2} + 1) = 0 \\ \\ lnx + \frac{x}{2} - \frac{e}{2} -1 = 0$

Vamos utilizar o "Método de Newton-Raphson" para acahr os pontos comuns dessas funçoes:

$x_{1} = x_{0} - \frac{F(x)}{F(x)'} \\ x_{2} = x_{1} - \frac{F(x)}{F(x)'}$

E assim por diante:

$F(x) = lnx + \frac{x}{2} - \frac{e}{2} -1 \\ \\ F(x)' = (lnx)' + ( \frac{x}{2})' - (\frac{e}{2})' -(1)' \\ \\ F(x)' = \frac{1}{x} + \frac{1}{2}$

Vamos escolher uma valor para x₀: 
x₀ = 1

$\\x_{1} = x_{0} - \frac{F(x)}{F(x)'} \\ \\ x_{1} = 1 - \frac{ln(1) - \frac{e}{2} -1}{ \frac{1}{1}+ \frac{1}{2}} \\ \\ x_{1} = 1 - \frac{-\frac{e}{2} -1 }{ \frac{3}{2}} \\ \\ x_{1} = 1 - \frac{2}{3}*( \frac{-e}{2} -1) \\ \\ x_{1} = 1 + \frac{e}{3} + \frac{2}{3} \\ \\ x_{1} = \frac{5 + e}{3} = 2,5727606095$

Ao voce fazer mais outra aproximação, para X₂ e substituindo o X₁ encontrado, ira achar que a raiz dessa equação é aproximadamente X₂ = 2,71...... arredendando.

o grafico da funçao "ln(x) corta o eixo no "x" = 1 certo?
ja a funcao -x/2 + e/2 + 1 corta mo "x" = 4,718

Se voce fazer o grafico, vera que no intervalo de x = 1 ate 2,71 devemos calcular a "integral de ln(x). E no intervalo de x= 2,71 ate 4,71 devemos calcular a integral da função "-x/2 + e/2 + 1"

Assim:


Area total ≈ Integral(1 até  2.71)[ln(x)]dx + integral(2,71 até 4,71)[-x/2 + e/2 + 1]dx

Integral(lnx)dx = uv - integral(vdu) → Area 1
u = lnx
du/dx = lnx'
du = (1/x)dx

dv = dx
integral(dv) = integral(dx)
v = x

integral(lnx) = uv - integral(vdu)
Integral(lnx) = lnx*(x) - integral(x*(1/x)dx)
integral(lnx) = xlnx - integral(dx)
integral(lnx) = xlnx - x → no intervalo [1, 2.71]

Vamos substituir o limite de integração:


Area 1 = [2,71*ln(2,71) - (2,71)] - [1*ln(1) - 1]
Area 1 ≈ -0,00826 -( 0 - 1)
Area 1 ≈ -0,00826 + 1
Area 1 ≈ 0,9917



Integral(-x/2 + e/2 + 1)dx →  Area 2
integral(-x/2)dx + integral(e/2)dx + integral(1)dx
-1/2*integral(x)dx + e/2*integral(dx) + integral(dx)
-1/2*x²/2 + e/2*x + x

-1/4*x² + e/2*x + x

Substituindo o limite de integração. [2,71 ate 4,71]

Area 2 = -1/4*(4,71)² + e/2*(4,71) + 4,71 - [ -1/4*(2,71)² + e/2*(2,71) + 2,71]

Area 2 = -5,546025 +6,401553706  + 4,71 -( -1,836025 + 0,964990049

Area 2 ≈ 0,855528706 + 4,71 - ( -0,8710349951)
Area 2 ≈ 5,565528706 + 0,8710349951
Area 2 ≈ 6,436578657
Area 2 ≈ 6,4365

Area total = A1 + A2

At ≈ 0,9917 + 6,4365
At ≈ 7,42u.a