Question

Calcule a área de um triângulo cujos vértices são A(-2,5), B(-4,-1) e C(4,3). Demonstre que esse triangulo é isosceles e retângulo.​

Answer 1

Resposta:

1) Área = 20 u. a.

2) Triângulo isósceles e retângulo

Explicação passo-a-passo:

Enunciado:

1 ) Calcule a área de um triângulo cujos vértices são A ( - 2 , 5 ) , B ( - 4 , - 1 ) e C ( 4 , 3 ) .

2 ) Demonstre que esse triangulo é isósceles e retângulo.​

Resolução:

Cálculo da área de um triângulo feito de três maneiras.

1º método - Usando Geometria Analítica

Área = | D | /2    

Área = Módulo do Determinante de uma matriz ,triangular, a dividir por 2.  

A matriz é

| xA   yA   1 |

| xB   yB   1 |

| xC   yC   1 |

xA ;  yA     coordenadas de vértice A

xB  ; y B    coordenadas de vértice B

xC  ; yC     coordenadas de vértice C

Construção da matriz:

| - 2   5    1 |  

| - 4  - 1    1 |  

|   4    3    1 |

Calcular o determinante da matriz ,copiar as duas primeiras colunas e colocá-las à direita da matriz original

| - 2   5    1 |    - 2    5

| - 4  - 1    1 |    - 4   -1

|   4    3    1 |     4    3

Cálculo

| - 2    5   1 |    - 2    5

| - 4  - 1    1 |    - 4   -1

|   4    3   1 |     4    3

+ ( - 2 * ( - 1 ) * 1) +

| - 2   5    1 |    - 2    5

| - 4  - 1   1 |    - 4   -1

|   4    3    1 |    4     3

+ ( - 2 * ( - 1 ) * 1) + ( 5 * 1 * 4 ) +

| - 2   5    1 |   - 2    5

| - 4  - 1    1 |    - 4   -1

|   4    3    1 |     4    3

+ ( - 2 * ( - 1 ) * 1 ) +  ( 5 * 1 * 4 ) + ( 1 * (- 4 ) * 3 ) -

| - 2   5   1 |   - 2    5

| - 4 - 1   1 |    - 4   -1

|   4    3    1 |     4     3

+ ( - 2 * ( - 1 ) * 1 ) +  ( 5 * 1 * 4 ) + ( 1 * (- 4 ) * 3 ) - ( 1 * ( - 1 ) * 4 ) -

| - 2   5    1 |   - 2    5

| - 4  - 1   1 |   - 4   -1

|   4    3    1 |     4     3

+ ( - 2 *( - 1 ) * 1 ) +  ( 5 * 1 * 4 ) + ( 1 * (- 4 ) * 3 ) - ( 1 * ( - 1 ) * 4 ) -  (( - 2 ) * 1 *  3) -

-

| - 2   5    1 |   - 2    5

| - 4  - 1    1 |   - 4   -1

|   4    3   1 |     4     3

+ ( - 2 *( - 1 ) * 1 ) +  ( 5 * 1 * 4 ) + ( 1 * ( - 4 ) * 3 ) - ( 1 * ( - 1 ) * 4 ) -  (( - 2 ) * 1 *  3) -

- ( 5 * ( - 4 ) * 1 )

Destes cálculos sai o valor do Determinante  ( D ) da matriz inicial.

+ ( 2 ) + ( 20 ) + ( - 12 ) - ( - 4 ) - ( - 6 ) - ( - 20 )

=  10 + 4 + 6 + 20

= 40  

Fórmula da área = | determinante | / 2

= | 40 | / 2

= 40 / 2  

= 20 u. a.

2º método - Usando a fórmula de Área = ( b * h ) /2

( base * altura) / 2

Fase 1 - cálculo das dimensões dos lados

Calcular as distâncias entre os vértices através da fórmula que dá a medida de cada lado :

d ( A ; B ) =   $d ( A ; B ) = \sqrt{(xB - xA )^{2} + ( yB - yA)^2$

( estes pontos A e B e suas coordenadas genéricas não são o A e  B dos vértices do triângulo )

d ( A ; B ) =   $\sqrt{( - 4 - ( - 2 ))^2+ ( - 1 - 5 )^2} = \sqrt{(-2)^{2} + ( - 6 )^2 } = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} }$

d ( A ; C ) =   $\sqrt{( 4 - ( - 2 ))^2+ ( 3- 5 )^2} = \sqrt{6^{2} + ( -2)^2 } = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} }$

d ( B ; C ) =   $\sqrt{( 4 - ( - 4 ))^2+ ( 3- ( - 1 ) )^2} = \sqrt{8^{2} + 4^2 } = \sqrt{64 + 16} = \sqrt{80} }$

Agora que já sabemos as medidas dos três lados do triângulo, vamos calcular a altura ( h)

Fase 2 - Cálculo da altura (h) ou [ AD ]

Esboço do triângulo

Nota: este esboço está feito como exemplo. Se se marcarem as coordenadas dos pontos A , B e C num sistema de eixos cartesianos, ele não tomará esta posição.

Mas isso não é necessário estar aqui, nesta demonstração.

                                 A

                                 º    

                           º     º           º

                      º          º                  º

                º                º                         º

         º                       º                                   º

    ººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººº

   B                            D                                     C

Dados:

[ AB ] = [ AC ] = $\sqrt{40} u.m$

[ BC ] = $\sqrt{80} u.m.$

Temos  a Base ,que é [ BC ] , falta conhecer a Altura (h) que é [ AD ].

Este triângulo tem dois lados iguais ( e nenhum deles é a base).

Prova-se que a altura , tirada do vértice oposto à base, divide a base em dois segmentos de igual dimensão.

Temos também que a altura é perpendicular à base .

Logo o triângulo ADC é retângulo em D.

Usando o Teorema de Pitágoras, obtém-se a altura do triângulo

Assim [ DC ] = [ BC ] /2 = $\frac{\sqrt{80} }{2}$

Teorema de Pitágoras

[ AC ]² =   [ DC ]²  + [ AD ] ²

$(\sqrt{40} )^{2} = (\frac{\sqrt{80} }{2} )^2 +$  [ AD ] ²

40 = 80/4 +  [ AD ] ²

40 = 20 + [ AD ] ²

40 - 20 =  [ AD ] ²

20 =  [ AD ] ²

[ AD ] = $\sqrt{20}$

Área = ( base * altura )/2

Área =  $(\sqrt{80}*\sqrt{20} )/ 2 = \sqrt{80*20}/2 = \frac{\sqrt{1600} }{2} = \frac{40}{2} =20$  u. a.

3º método - Fórmula de Heron

$A = \sqrt{p * ( p - a)*(p-b) * ( p-c)}$

a ; b  e c  lados de um triângulo

"p" é metade do perímetro do triângulo

$p = \frac{a + b + c}{2}$

$\sqrt{40} = 6,32$

$\sqrt{80} = 8,94$

$Perimetro = ( 6,32+6,32+8,94) = 21,58$

$Perimetro / 2 = 10,79$

$Area =\sqrt{10,79*(10,79-6,32)*(10,79-6,32)*(10,79-8,94)}$

$Area = \sqrt{10,79*4,47*4,47*1,85} = \sqrt{398,85} = 19,97$

Área ≈ 19,97 ≈ 20 u.a.

Aqui dá um resultado aproximado.

Conclusão:

Foram apresentados 3 métodos para cálculo de área de triângulos, quando se conhecem as coordenadas dos três vértices de um triângulo qualquer.

Para ter resultado  sempre exato é com o primeiro, que usa a matriz.

2) Triângulo ABC é isósceles pois tem dois lados, [ AB ] e [ AC ] de dimensão igual $\sqrt{40}$ u.m.

Provar que ABC é um triângulo retângulo

Maior lado² = outro lado² + outro lado²

$\sqrt{80} ^{2} = \sqrt{40} ^{2} +\sqrt{40} ^{2}$

80 = 40 + 40

80 = 80            verificado

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Sinais : ( u.m.)  unidades de medida          ( u.a. ) unidades de área

|   |   módulo           ( * ) multiplicar        ( / ) dividir        ( ≈ )  valor aproximado

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