Question

Calcule a área de um círculo inscrito em um triangulo equilátero de lado igual a
${3}^{ \frac{1}{2} }$

​

Answer 1

a área S de um triângulo equilátero de lado l pode ser dado pode ser definida como:

$S = \frac{ {l}^{2} \sqrt{3} }{4}$

como o lado é √3:

$S = \frac{3 \sqrt{3} }{4}$

só que a área de um triângulo pode ser dado também pelo produto do semiperímetro (p) pelo raio, então:

$p = \frac{ \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3} }{2} = \frac{3 \sqrt{3} }{2}$

$S = p \times r$

substituindo a área encontrada e o semiperímetro, encontraremos o raio do círculo inscrito:

$\frac{3 \sqrt{3} }{4} = \frac{3 \sqrt{3} }{2} r \\ r = \frac{1}{2}$

Agora, basta jogar na fórmula de área da circunferência:

$A = \pi {r}^{2} \\ A = \pi {( \frac{1}{2}) }^{2} = \frac{\pi}{4}$

podem existir meios mais fáceis de resolver, mas eu achei esse jeito bem simples.