Question

Calcule a área das regiões limitadas pelas curvas dadas abaixo utilizando integral dupla.

y=x^2-5x+6 e 2x+y-6=0
x=y^2 e x-2y=0

Answer 1

Resolvendo a  1ª região
x² - 5x + 6 ⇒ parábola côncava para cima de raízes nos pontos (2  0) e (3 0) que toca no eixo vertical no ponto (0 6)
2x + y - 6 = 0    ⇒y = -2x + 6 trata-se de uma reta decrescente que passa pelo ponto ( 0 6) e (3 0)
Conclusão:  ambas tem pontos comuns em (0 6) e (3 0)
Área será  integral  da reta menos a da  parábola no intervalo [0  3]
∫-2x + 6 - x² + 5x -6 ⇒ ∫(3x - x²)dx ⇒ 3∫xdx - ∫x²dx
3[x²/2 - x³/3] = 3x²/2 - x³/3 (no intervalo 0 à 3)
Substituindo "x" primeiro por "3" menos a substituição posterior por "0"
[3×3²/2 - 3³/3] - [3×0²/2  - 0³/3] ⇒ [27/2 - 27/3] - [0]⇒ (81 - 54)/6 = 27/6