Question

Calcule a área da superfície limitada pela curva F(x) = -x²+8X-7 pelo eixo dos x e pelas retas x = 5 e x = 8

Answer 1

Olá, bom dia.

Devemos calcular a área da região compreendida entre a curva $f(x)=-x^2+8x-7$ e o eixo $x$, delimitada pelas retas $x=5$ e $x=8$.

Seja $R$ a região compreendida entre as curvas $y=f(x)$ e $y=g(x)$, contínuas e integráveis no intervalo fechado delimitado pelas retas verticais $x=a$ e $x=b$, onde $f(x)>g(x)$. A área desta região é calculada pela integral: $\displaystyle{\iint_R \,dA=\int_a^b\int_{g(x)}^{f(x)}\,dy\,dx=\int_a^b f(x)-g(x)\,dx}$.

Então, observe que neste intervalo, há um ponto onde a função atravessa o eixo $x$. Isto significa que a área sob o gráfico da função troca de sinal e, portanto, não calculará a área total desta região.

Sendo assim, a área total será calculada pela integral:

$\displaystyle{\int_a^b|f(x)-g(x)|\,dx}$

Por isso, devemos calcular duas integrais. Considere $x=c$ o ponto onde a função cruza o eixo, isto é, $f(x)$ passa a ser menor que $g(x)$, fazemos:

$A_{total}=\displaystyle{\int_a^cf(x)-g(x)\,dx+\int_c^b g(x)-f(x)\,dx}$

Ao observarmos o gráfico da função, em anexo, facilmente descobre-se que este ponto é $x=7$. Substituindo as funções e os limites de integração, temos:

$A_{total}=\displaystyle{\int_5^7-x^2+8x-7-0\,dx+\int_7^80-(-x^2+8x-7)\,dx}\\\\\\ A_{total}=\displaystyle{\int_5^7-x^2+8x-7\,dx+\int_7^8x^2-8x+7\,dx}$

Para calcular estas integrais, lembre-se que:

• A integral é um operador linear, logo vale que: $\displaystyle{\int h(x)+j(x)\,dx=\int h(x)\,dx+\int j(x)\,dx}$ e $\displaystyle{\int k\cdot l(x)\,dx=k\cdot \int l(x)\,dx}$.
• A integral de uma potência é calculada pela regra da potência: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C,~n\neq-1$.
• As potências $x=x^1$ e $1=x^0$.
• A integral definida de uma função $f(x)$, contínua e integrável em um intervalo fechado $[a,~b]$ é calculada de acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo: $\displaystyle{\int_a^b f(x)\,dx=F(x)~\biggr|_a^b=F(b)-F(a)$, em que $F(x)$ é a antiderivada de $f(x)$.

Aplique a linearidade

$\displaystyle{-\int_5^7x^2\,dx+8\cdot\int_5^7x\,dx-7\cdot\int_5^7x^0\,dx+\int_7^8x^2\,dx-8\cdot\int_7^8x\,dx+7\cdot\int_7^8x^0\,dx}$

Aplique a regra da potência

$\left(-\dfrac{x^{2+1}}{2+1}+8\cdot\dfrac{x^{1+1}}{1+1}-7\cdot\dfrac{x^{0+1}}{0+1}\right)~\biggr|_5^7+\left(\dfrac{x^{2+1}}{2+1}-8\cdot\dfrac{x^{1+1}}{1+1}+7\cdot\dfrac{x^{0+1}}{0+1}\right)~\biggr|_7^8$

Some os valores nos expoentes e denominadores e aplique os limites de integração

$-\dfrac{7^3}{3}+4\cdot7^2-7\cdot7-\left(-\dfrac{5^3}{3}+4\cdot5^2-7\cdot5\right)+\dfrac{8^3}{3}-4\cdot8^2+7\cdot8-\left(\dfrac{7^3}{3}-4\cdot7^2+7\cdot7\right)$

Calcule as potências, multiplique e some os valores

$-\dfrac{343}{3}+4\cdot49-49-\left(-\dfrac{125}{3}+4\cdot25-35\right)+\dfrac{512}{3}-4\cdot64+56-\left(\dfrac{343}{3}-4\cdot49+49\right)\\\\\\ -\dfrac{343}{3}+196-49-\left(-\dfrac{125}{3}+100-35\right)+\dfrac{512}{3}-256+56-\left(\dfrac{343}{3}-196+49\right)\\\\\\ -\dfrac{343}{3}+196-49+\dfrac{125}{3}-100+35+\dfrac{512}{3}-256+56-\dfrac{343}{3}+196-49\\\\\\ \dfrac{38}{3}~~\bold{u.~a}~~\checkmark$

Esta é a área total da região compreendida entre as curvas neste intervalo.