Question

Calcule a área da região R entre os gráficos de y = sen (x) e y = sen (2x), para x ∈ [0,$\pi$]

Answer 1

Olá, boa tarde.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre o cálculo de áreas.

Devemos determinar a área da região entre as curvas $y=\sin(x)$ e $y=\sin(2x)$, no intervalo $[0,~\pi]$ .

Primeiro, lembre-se que a área de uma região $R$, delimitada por duas funções $f(x)$ e $g(x)$, contínuas em um intervalo fechado $[a,~b]$, onde $f(x)>g(x)$ é calculada pela integral: $\displaystyle{\iint_R\,dA=\int_a^b\int_{g(x)}^{f(x)}\,dy\,dx=\int_a^b f(x)-g(x)\,dx}$.

Então, esboçamos os gráficos das funções no plano cartesiano: veja a primeira imagem em anexo.

Observa-se que, no intervalo $[0,~\pi]$, as funções se intersectam em $\left(\dfrac{\pi}{3},~\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$. De $\left[0,~\dfrac{\pi}{3}\right[$, $\sin(2x)>\sin(x)$ e de $\left]\dfrac{\pi}{3},~\pi\right]$, $\sin(x)>\sin(2x)$. Assim, a área da região $R$ delimitada por estas curvas será calculada pelas integrais:

$\displaystyle{\int_{0}^{\biggr{\frac{\pi}{3}}}\sin(2x)-\sin(x)\,dx+\int_{\biggr{\frac{\pi}{3}}}^{\pi}\sin(x)-\sin(2x)\,dx}$

Para calcular estas integrais, lembre-se que:

• A integral de uma soma de funções é igual a soma das integrais das funções: $\displaystyle{\int f(x)\pm g(x)\,dx=\int f(x)\,dx\pm \int g(x)\,dx$.
• A integral de uma função composta pode ser resolvida utilizando a técnica da substituição, em que se altera a variável e os limites de integração.
• A integral do produto entre uma constante e uma função pode ser reescrita como: $\displaystyle{\int c\cdot f(x)\,dx=c\cdot\int f(x)\,dx$.
• A integral da função seno é igual ao oposto da função cosseno: $\displaystyle{\int\sin(x)\,dx=-\cos(x)+C$.
• A integral definida de uma função $f(x)$, contínua em um intervalo fechado $[a,~b]$ é calculada de acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo: $\displaystyle{\int_a^b f(x)\,dx=F(x)~\biggr|_a^b=F(b)-F(a)$.

Aplique a regra da soma

$\displaystyle{\int_{0}^{\biggr{\frac{\pi}{3}}}\sin(2x)\,dx-\int_{0}^{\biggr{\frac{\pi}{3}}}\sin(x)\,dx+\int_{\biggr{\frac{\pi}{3}}}^{\pi}\sin(x)\,dx-\int_{\biggr{\frac{\pi}{3}}}^{\pi}\sin(2x)\,dx}$

Na primeira e quarta integrais, faça uma substituição, $u=2x$ e $t=2x$, respectivamente.

Diferenciamos ambos os lados das igualdades em respeito à variável $x$, para isolarmos o diferencial $dx$:

$(u)'=(2x)'\\\\\\ \dfrac{du}{dx}=2\Rightarrow du=2\,dx\Rightarrow dx=\dfrac{du}{2}\\\\\\\ (t)'=(2x)'\\\\\\ \dfrac{dt}{dx}=2\Rightarrow dt=2\,dx\Rightarrow dx=\dfrac{dt}{2}$

Na primeira integral, quando $x=0,~u\rightarrow 0$ e quando $x=\dfrac{\pi}{3},~u\rightarrow \dfrac{2\pi}{3}$. Na quarta integral, quando $x=\dfrac{\pi}{3},~t\rightarrow \dfrac{2\pi}{3}$ e quando $x=\pi,~t\rightarrow 2\pi$. Assim, teremos:

$\displaystyle{\int_{0}^{\biggr{\frac{2\pi}{3}}}\sin(u)\cdot\dfrac{du}{2}-\int_{0}^{\biggr{\frac{\pi}{3}}}\sin(x)\,dx+\int_{\biggr{\frac{\pi}{3}}}^{\pi}\sin(x)\,dx-\int_{\biggr{\frac{2\pi}{3}}}^{2\pi}\sin(t)\cdot\dfrac{dt}{2}}$

Aplique a regra da constante

$\displaystyle{\dfrac{1}{2}\cdot\int_{0}^{\biggr{\frac{2\pi}{3}}}\sin(u)\,du-\int_{0}^{\biggr{\frac{\pi}{3}}}\sin(x)\,dx+\int_{\biggr{\frac{\pi}{3}}}^{\pi}\sin(x)\,dx-\dfrac{1}{2}\cdot\int_{\biggr{\frac{2\pi}{3}}}^{2\pi}\sin(t)\,dt}$

Calcule as integrais das funções seno

$\dfrac{1}{2}\cdot(-\cos(u))~\biggr|_{0}^{\biggr{\frac{2\pi}{3}}}-(-\cos(x))~\biggr|_{0}^{\biggr{\frac{\pi}{3}}}+(-\cos(x))~\biggr|_{\biggr{\frac{\pi}{3}}}^{\pi}-\dfrac{1}{2}\cdot(-\cos(t))~\biggr|_{\biggr{\frac{2\pi}{3}}}^{2\pi}$

Multiplique os valores e aplique os limites de integração

$-\dfrac{\cos(u)}{2}~\biggr|_{0}^{\biggr{\frac{2\pi}{3}}}+\cos(x)~\biggr|_{0}^{\biggr{\frac{\pi}{3}}}-\cos(x)~\biggr|_{\biggr{\frac{\pi}{3}}}^{\pi}+\dfrac{\cos(t)}{2}~\biggr|_{\biggr{\frac{2\pi}{3}}}^{2\pi}$

$-\dfrac{1}{2}\left(\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)-\cos(0)\right)+\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)-\cos(0)-\left(\cos(\pi)-\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\right)+\dfrac{1}{2}\cdot\left(\cos(2\pi)-\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)\right)$

Sabendo que $\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)=-\dfrac{1}{2},~\cos(0)=1,~\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2},~\cos(\pi)=-1$ e $\cos(2\pi)=1$, teremos:

$-\dfrac{1}{2}\left(-\dfrac{1}{2}-1\right)+\dfrac{1}{2}-1-\left(-1-\dfrac{1}{2}\right)+\dfrac{1}{2}\cdot\left(1-\left(-\dfrac{1}{2}\right)\right)$

Some e multiplique os valores

$\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{2}+\dfrac{3}{4}\\\\\\ \dfrac{5}{2}~\bold{u.~a}$

Esta é a área da região delimitada por estas curvas, neste intervalo.