Question

Calcule a área da região que está dentro do circulo r = 3 sen(θ) e fora da
cardioide r = 1 + senθ.

Answer 1

$\boxed{ \large A = π \:\:u.a}$

Explicação

Temos as seguintes relações:

$\bullet \: \: \: r = 3 \sin( \theta) \: \: e \: \: r = 1 + \sin( \theta)$

Para encontrar a área interior ao círculo e exterior a cardioide, podemos fazer de várias formas, mas por motivos de simplicidade, vamos usar a integração desde o primeiro ponto de intersecção até o segundo.

Como as relações estão em coordenadas polares, essencialmente vamos usar a integração neste mesmo tipo de variável, por ser mais simples. A relação para o cálculo em coordenadas polares com integrais duplas é:

$\: \: \: \: \: \: \: \bullet \: \: A = \int\int_C f(x,y) \: dA$

• Onde C é a região (r,θ) de integração, f(x,y) a função que queremos integrar, que neste caso é 1, já que não é fornecida e dA a diferencial de área que em C.P. é dada por rdrdθ.

Substituindo estas informações citada acima:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: A = \int_{ \theta_1}^{ \theta _2 }\int_{r _1}^{r_2 } rdrd \theta$

Agora em relação as variações, temos que fazer a análise do gráfico.

• Variação em θ:

Se você observar o gráfico fornecido no enunciado, podemos ver que a área em questão se estende desde um certo ângulo até outro, que são justamente as intersecções das funções.

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \bullet \: \: \frac{\pi}{6} \leqslant \theta \leqslant \frac{5\pi}{6}$

• Variação em r:

Se traçarmos uma reta radialmente (como mostrado na figura anexada), primeiro tocamos a cardioide e depois o círculo, portanto:

$\: \: \: \: \: \: 1 + \sin( \theta) \leqslant r \leqslant 3 \sin( \theta)$

Substituindo as variações:

$\: \: \: \: \: \: \: A = \int_{ \frac{\pi}{6} }^{ \frac{5\pi}{6} }\int_{1 + \sin( \theta)}^{ 3 \sin( \theta) } rdrd \theta$

Para facilitar o entendimento, é interessante resolver as integrais separadamente.

• Primeira integral:

$\int_{1 + \sin( \theta)}^{3 \sin( \theta)} rdr \: \to \: \left [\frac{r {}^{2} }{2} \right]_{1 + \sin( \theta)}^{3 \sin( \theta)} \: \: \to \: \: \frac{ [3 \sin( \theta)] ^{2} }{2} - \frac{ [1 + \sin( \theta)] ^{2} }{2} \\ \\ \frac{1}{2} . \left\{ [9 \sin {}^{2}( \theta) ] - [1 + 2 \sin( \theta) + \sin {}^{2}( \theta) ] \right \} \: \: \to \: \: \frac{1}{2} .(8 \sin {}^{2} ( \theta) - 2 \sin( \theta) - 1)$

• Segunda integral:

$\int_{ \frac{\pi}{6} }^{ \frac{5\pi}{6} } \frac{1}{2}.(8 \sin {}^{2} ( \theta) - 2 \sin( \theta) - 1) \: d \theta \\ \\ \frac{1}{2} \left[ \int_{ \frac{\pi}{6} }^{ \frac{5\pi}{6} }8 \sin {}^{2} ( \theta) d \theta - \int_{ \frac{\pi}{6} }^{ \frac{5\pi}{6} }2 \sin( \theta)d \theta - \int_{ \frac{\pi}{6} }^{ \frac{5\pi}{6} }1 d \theta\right] \\ \\ \frac{1}{2} \left[ 8\int_{ \frac{\pi}{6} }^{ \frac{5\pi}{6} } \sin {}^{2} ( \theta) d \theta - 2\int_{ \frac{\pi}{6} }^{ \frac{5\pi}{6} } \sin( \theta)d \theta - \int_{ \frac{\pi}{6} }^{ \frac{5\pi}{6} }d \theta\right] \\ \\ \frac{1}{2} \left[8 \int_{ \frac{\pi}{6} }^{ \frac{5\pi}{6} }\sin {}^{2} ( \theta) d \theta + 2\left( \cos( \theta)\right) \bigg|_{ \frac{\pi}{6} }^{ \frac{5\pi}{6} }- (\theta) \bigg|_{ \frac{\pi}{6} }^{ \frac{5\pi}{6} } \right]$

Para esta integral da potência do seno, vamos ter que usar a seguinte informação:

$8\int_{ \frac{\pi}{6} }^{ \frac{5\pi}{6} } \left( \frac{1 - \cos(2 \theta)}{2} \right) \: d \theta \: \: \to \: \: 8 \int_{ \frac{\pi}{6} }^{ \frac{5\pi}{6} } \frac{1}{2} .(1 - \cos(2 \theta)) \: d \theta\\ \\ 4 \int_{ \frac{\pi}{6} }^{ \frac{5\pi}{6} }1 - \cos(2 \theta) \: d \theta \: \to \: 4 \int_{ \frac{\pi}{6} }^{ \frac{5\pi}{6} }1 d \theta- 4\int_{ \frac{\pi}{6} }^{ \frac{5\pi}{6}} \cos(2 \theta) d \theta \\ \\ 4. (\theta)\bigg|_{ \frac{\pi}{6} }^{ \frac{5\pi}{6} } - 2( \sin(2 \theta))\bigg|_{ \frac{\pi}{6} }^{ \frac{5\pi}{6}}$

Agora que temos o resultado desta integral, vamos realocá-lo onde paramos.

$\frac{1}{2} \left[ 3. (\theta)\bigg|_{ \frac{\pi}{6} }^{ \frac{5\pi}{6} } - 2( \sin(2 \theta))\bigg|_{ \frac{\pi}{6} }^{ \frac{5\pi}{6} } + 2\left( \cos( \theta)\right) \bigg|_{ \frac{\pi}{6} }^{ \frac{5\pi}{6} }\right]$

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo:

$\frac{1}{2} \left[\left[ 3. \left( \frac{5\pi}{6} \right) - 3. \left( \frac{\pi}{6} \right) \right] + \left[ - 2( \sin \left( 2.\frac{5\pi}{6} \right) ) + 2( \sin \left( 2.\frac{\pi}{6} \right))\right] + \left[ 2 \left( \cos\left( \frac{5\pi}{6} \right) \right) - 2\left( \cos\left( \frac{\pi}{6} \right) \right) \right] \right] \\ \\ \frac{1}{2} .\left[ \frac{15\pi}{6} - \frac{3\pi}{6} - 2 \sin \left( \frac{5\pi}{3} \right) + 2 \sin \left( \frac{\pi}{3} \right) + 2\cos\left( \frac{5\pi}{6} \right) - 2 \cos\left( \frac{\pi}{6} \right) \right] \: \: \to \: \: \frac{1}{2} .\left[ \frac{12\pi}{6} + \sqrt{3} + \sqrt{3} -2. \frac{ \sqrt{3} }{2} - 2. \frac{ \sqrt{3} }{2} \right] \\ \\ \frac{1}{2} .\left[ {2\pi} + 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} \right] \: \: \to \: \: \frac{1}{2} [2\pi] \: \: \to \: \: \pi$

Portanto temos que a ÁREA É IGUAL A π

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