Question

Calcule a área da região limitada superiormente pela função g(x) = 8/2,2 > 0, e inferiormente pela função f(x) = x2.​

Answer 1

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que a área compreendida entre as referidas funções é:

     $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf S = \frac{16}{3}\,u^{2}\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam as funções:

        $\Large\begin{cases}\tt f(x) = x^{2}\\\tt g(x) = \frac{8}{2} = 4\end{cases}$

Para resolver esta questão, devemos:

• Calcular o intervalo de integração. Para isso devemos calcular as abscissas dos pontos de interseção das curvas.

                              $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt f(x) = g(x)\end{gathered}$

                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt x^{2} = 4\end{gathered}$

                                    $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt x = \pm\sqrt{4}\end{gathered}$

                                    $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt x = \pm2\end{gathered}$

        Resolvendo esta equação chegamos à seguinte solução:

                           $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt S = \{-2,\,2\}\end{gathered}$

         Então o intervalo de integração procurado é::

              $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt I = \left[a,\,b\right] = \left[x',\,x''\right] = \left[-2,\,2\right]\end{gathered}$

• Calcular a área compreendida entre as curvas. Para isso devemos utilizar a seguinte fórmula:

                     $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt S = \int_{a}^{b} \left[g(x) - f(x)\right]\,dx\end{gathered}$

         Onde:

              $\Large\begin{cases}\tt a = Limite\:inferior\:intervalo\\\tt b = Limite\:superior\:intervalo\\\tt g(x) = Func_{\!\!,}\tilde{a}o\:mais\:acima\\\tt f(x) = Func_{\!\!,}\tilde{a}o\:mais\:abaixo\end{cases}$

          Como estamos querendo a área entre as duas funções x > 0, então o nosso intervalo que usaremos para os cálculos é:

                              $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt I = \left[0,\,2\right]\end{gathered}$      

          Desenvolvendo os cálculos, temos:

               $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt S = \int_{0}^{2} \left[4 - x^{2}\right]\,dx \end{gathered}$

                   $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\tt = \left[4x - \frac{x^{2 + 1}}{2 + 1} + c\right]\bigg|_{0}^{2}\end{gathered} }$

                   $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\tt = \left[4x - \frac{x^{3}}{3} + c\right]\bigg|_{0}^{2}\end{gathered} }$

                   $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\tt = \left[4\cdot2 - \frac{2^{3}}{3} + c\right] - \left[4\cdot0 - \frac{0^{3}}{3} + c\right]\end{gathered} }$

                   $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt = 8 - \frac{8}{3} + c - c\end{gathered}$

                    $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt = 8 - \frac{8}{3}\end{gathered}$

                    $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt = \frac{24 - 8}{3}\end{gathered}$

                    $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt = \frac{16}{3}\end{gathered}$

✅ Portanto, a área procurada é:

              $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt S = \frac{16}{3}\,u^{2}\end{gathered}$

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Veja a solução gráfica representada na figura:

Answer 2

Resposta:

64/3

Explicação passo a passo:

Gabarito